Wie findet man die Steigung einer Polarkurve?
Antworten:
If #r=f(theta)# ist die Polarkurve, dann die Steigung an einem beliebigen Punkt dieser Kurve mit bestimmten Polarkoordinaten #(r,theta)# is #(f'(theta)sin(theta)+f(theta)cos(theta))/(f'(theta)cos(theta)-f(theta)sin(theta))#
Erläuterung:
If #r=f(theta)#, dann #x=r cos(theta)=f(theta)cos(theta)# und #y=r sin(theta)=f(theta)sin(theta)#. Dies impliziert, durch die Produktregel, Dass #dx/(d theta)=f'(theta)cos(theta)-f(theta)sin(theta)# und #dy/(d theta)=f'(theta)sin(theta)+f(theta)cos(theta)#.
Deshalb #mbox{slope}=dy/dx=(dy/(d theta))/(dx/(d theta))=(f'(theta)sin(theta)+f(theta)cos(theta))/(f'(theta)cos(theta)-f(theta)sin(theta))#
Ich habe das mit der Polarkurve getestet #r=f(theta)=theta#, was gab #dy/dx=(sin(theta)+theta cos(theta))/(cos(theta)-theta sin(theta))# und an dem Punkt mit Polarkoordinaten #(r,theta)=(f(theta),theta)=(f((5pi)/6),(5pi)/6)=((5pi)/6,(5pi)/6) approx (2.62,2.62)# (und rechteckige Koordinaten #(x,y) approx (-2.28,1.31)#)
#dy/dx=(sin((5pi)/6)+(5pi)/6 * cos((5pi)/6))/(cos((5pi)/6)-(5pi)/6 * sin((5pi)/6))=(1/2 + (5pi)/6 * (-sqrt(3)/2) )/(-sqrt(3)/2 -(5pi)/6 * 1/2) approx 0.81252#. Ich habe die Polarkurve zusammen mit ihrer Tangente an dieser Stelle grafisch dargestellt und das folgende Bild erhalten. Es sieht gut aus.
