Wie findet man die Oberfläche des Teils des kreisförmigen Paraboloids # z = x ^ 2 + y ^ 2 #, der im Zylinder # x ^ 2 + y ^ 2 = 1 # liegt?

Ich gehe von folgenden Kenntnissen aus; Bitte stellen Sie als separate Frage (n), wenn eine dieser Fragen noch nicht geklärt ist:

  1. Konzept der partiellen Ableitungen
  2. Die Fläche einer Fläche, #f(x,y)#über einem Bereich R der XY-Ebene ist gegeben durch #int int_R sqrt((f_x')^2 + (f_y')^2 +1) dx dy# woher
    #f_x'# und #f_y'# sind die partiellen Ableitungen von #f(x,y)# in Bezug auf #x# und #y# beziehungsweise.
  3. Um das Integral einer Funktion in Rechteckkoordinaten in eine Funktion in Polarkoordinaten umzuwandeln: #dx dy rarr (r) dr d theta#

If #z = f(x,y) = x^2 + y^2#
dann #f_x' = 2x# und #f_y'= 2y#

Die Fläche über der Region definiert durch #x^2+y^2 = 1#ist gegeben durch
#S =int int_R sqrt(4x^2 + 4y^2 + 1) dx dy#

Konvertieren in Polarkoordinaten (da es einfacher ist, mit Polarkoordinaten im kreisförmigen Bereich zu arbeiten)
#S = int_(theta = 0)^(2pi) int_(r=0)^1 (4 r^2+1)^(1/2) (r) dr d theta#

#= int_(theta=0)^(2pi) ((4r^2+1)^(3/2))/(12) |_(r=0)^1 d theta#

#= int_(theta=0)^(2pi) (5sqrt(5)-1)/(12) d theta#

#= (5sqrt(5) -1)/(12) theta |_(theta=0)^(2pi)#

#= (5sqrt(5)-1)/6 pi#

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