Wie findet man die Oberfläche des Teils des kreisförmigen Paraboloids $z = x ^ 2 + y ^ 2$ , der im Zylinder $x ^ 2 + y ^ 2 = 1$ liegt?

Ich gehe von folgenden Kenntnissen aus; Bitte stellen Sie als separate Frage (n), wenn eine dieser Fragen noch nicht geklärt ist:

Konzept der partiellen Ableitungen
Die Fläche einer Fläche, $f(x,y)$ über einem Bereich R der XY-Ebene ist gegeben durch $int int_R sqrt((f_x')^2 + (f_y')^2 +1) dx dy$ woher
$f_x'$ und $f_y'$ sind die partiellen Ableitungen von $f(x,y)$ in Bezug auf $x$ und $y$ beziehungsweise.
Um das Integral einer Funktion in Rechteckkoordinaten in eine Funktion in Polarkoordinaten umzuwandeln: $dx dy rarr (r) dr d theta$

If $z = f(x,y) = x^2 + y^2$
dann $f_x' = 2x$ und $f_y'= 2y$

Die Fläche über der Region definiert durch $x^2+y^2 = 1$ ist gegeben durch
$S =int int_R sqrt(4x^2 + 4y^2 + 1) dx dy$

Konvertieren in Polarkoordinaten (da es einfacher ist, mit Polarkoordinaten im kreisförmigen Bereich zu arbeiten)
$S = int_(theta = 0)^(2pi) int_(r=0)^1 (4 r^2+1)^(1/2) (r) dr d theta$

$= int_(theta=0)^(2pi) ((4r^2+1)^(3/2))/(12) |_(r=0)^1 d theta$

$= int_(theta=0)^(2pi) (5sqrt(5)-1)/(12) d theta$

$= (5sqrt(5) -1)/(12) theta |_(theta=0)^(2pi)$

$= (5sqrt(5)-1)/6 pi$

Wie findet man die Oberfläche des Teils des kreisförmigen Paraboloids z = x ^ 2 + y ^ 2 z = x ^ 2 + y ^ 2 , der im Zylinder x ^ 2 + y ^ 2 = 1 x ^ 2 + y ^ 2 = 1 liegt?

Wie findet man die Oberfläche des Teils des kreisförmigen Paraboloids $z = x ^ 2 + y ^ 2$ , der im Zylinder $x ^ 2 + y ^ 2 = 1$ liegt?