Wie finden Sie zwei Einheitsvektoren, die einen Winkel von 60 ° mit v = ‹3, 4› bilden?

Antworten:

Der Bedarf. Einheitsvektoren sind, $(\frac{3}{10} - \frac{2}{5} \sqrt{3}, \frac{2}{5} + 3 \frac{\sqrt{3}}{10})$ $(3/10-2/5sqrt3,2/5+3sqrt3/10)$ , oder,

$(\frac{3}{10} + 2 \frac{\sqrt{3}}{5}, \frac{2}{5} - 3 \frac{\sqrt{3}}{10})$ $(3/10+2sqrt3/5, 2/5-3sqrt3/10)$ .

Erläuterung:

Lassen $\to u = (x, y)$ $vecu=(x,y)$ sei der Anforder. Einheitsvektor.

$∴ ∣ ∣ ∣ ∣ \to u ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 1 ... ... ... ... ... . . (1)$ $:. ||vecu||=1 rArr x^2+y^2=1.................(1)$ .

Angesichts dessen, Angle BTWN. $\to u and \to v$ $vecu and vecv$ is $\frac{π}{3}$ $pi/3$ Wir nehmen das Skalarprodukt dieser Vektoren, um Folgendes zu erhalten:

$\to u \cdot \to v = | | u | | | | v | | cos (ˆ \to u, \to v)$ $vecu*vecv=||u||||v||cos(hat(vecu, vecv))$

$∴ (x, y) \cdot (3, 4) = 1 (\sqrt{3^{2} + 4^{2}}) cos (\frac{π}{3})$ $:. (x,y)*(3,4)=1(sqrt(3^2+4^2))cos(pi/3)$

$∴ 3 x + 4 y = 1 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow 3 x = \frac{5}{2} - 4 y$ $:. 3x+4y=1*5*1/2=5/2 rArr 3x=5/2-4y$

$\Rightarrow x = \frac{1}{3} (\frac{5}{2} - 4 y) ... ... ... ... ... ... ... . . (2)$ $rArr x=1/3(5/2-4y).......................(2)$ .

Mit $(2)$ $(2)$ in $(1)$ $(1)$ , wir bekommen,

$\frac{1}{9} {(\frac{5}{2} - 4 y)}^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow \frac{25}{4} - 20 y + 16 y^{2} + 9 y^{2} = 9$ $1/9(5/2-4y)^2+y^2=1rArr25/4-20y+16y^2+9y^2=9$

$\Rightarrow 25 y^{2} - 20 y = 9 - \frac{25}{4}$ $rArr 25y^2-20y=9-25/4$ .

Um das zu machen $L . H . S .$ $L.H.S.$ komplettes Quadrat, fügen wir hinzu $4$ $4$ auf beiden Seiten.

$∴ 25 y^{2} - 20 y + 4 = 9 - \frac{25}{4} + 4$ $:. 25y^2-20y+4=9-25/4+4$ .

$∴ {(5 y - 2)}^{2} = \frac{27}{4}$ $:. (5y-2)^2=27/4$

$∴ 5 y - 2 = \pm 3 \frac{\sqrt{3}}{2}, i . e ., 5 y = 2 \pm 3 \frac{\sqrt{3}}{2}, s o, y = \frac{2}{5} \pm 3 \frac{\sqrt{3}}{10}$ $:. 5y-2=+-3sqrt3/2, i.e., 5y=2+-3sqrt3/2, so, y=2/5+-3sqrt3/10$

By $(2)$ $(2)$ , dann, $x = \frac{1}{3} {\frac{5}{2} - 4 (\frac{2}{5} \pm 3 \frac{\sqrt{3}}{10})}$ $x=1/3{5/2-4(2/5+-3sqrt3/10)}$ .

Damit ist die Anforder. Einheitsvektoren sind, $(\frac{3}{10} - \frac{2}{5} \sqrt{3}, \frac{2}{5} + 3 \frac{\sqrt{3}}{10})$ $(3/10-2/5sqrt3,2/5+3sqrt3/10)$ , oder,

$(\frac{3}{10} + 2 \frac{\sqrt{3}}{5}, \frac{2}{5} - 3 \frac{\sqrt{3}}{10})$ $(3/10+2sqrt3/5, 2/5-3sqrt3/10)$ .

Eine alternative Methode, um dieses Problem zu lösen, ist, anstatt zu starten

mit $\to u = (x, y)$ $vecu=(x,y)$ können wir annehmen, dass

$\to u = (cos θ, sin θ)$ $vecu=(costheta,sintheta)$ wo wir können, vorzugsweise einschränken

$θ \in [0, \frac{π}{2}]$ $theta in [0,pi/2]$ .