Wie finden Sie die Maclaurin-Serie für `Sin (x ^ 2)`?

Zuerst müssen wir die Serie für finden `sin(x)`

lassen`f(x) = sin(x)`
`f(0) = sin(0) = 0`
`f'(0) = cos(0) = 1`
`f''(0) = -sin(0) = 0`
`f'''(0) = -cos(0) = -1`

Jetzt können wir uns auf die Macluarin-Reihe beziehen;

`f(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)x^2)/(2!) + (f'''(0)x^3)/(3!) + ...`

Daher `sin(x) = x - x^3/(3!) + x^5/(5!) - ...`

Daher für `sin(x^2)` wir ersetzen jeden `x` by `x^2` in der Serie für `sin(x)`

`sin(x^2) = (x^2) - (x^2)^3/(3!) + (x^2)^5/(5!) - ...`

`= x^2 - x^6/(3!) + x^10/(5!) - ....`

Was wir in Sigma-Summationsnotation schreiben können als;

`sum_(n=0 )^oo x^(4n+2)/((2n+1)!) * (-1)^n`