Wie finden Sie die Maclaurin-Serie für #Sin (x ^ 2) #?

Zuerst müssen wir die Serie für finden #sin(x)#

lassen# f(x) = sin(x) #
#f(0) = sin(0) = 0#
#f'(0) = cos(0) = 1#
#f''(0) = -sin(0) = 0#
#f'''(0) = -cos(0) = -1#

Jetzt können wir uns auf die Macluarin-Reihe beziehen;

#f(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)x^2)/(2!) + (f'''(0)x^3)/(3!) + ...#

Daher #sin(x) = x - x^3/(3!) + x^5/(5!) - ...#

Daher für #sin(x^2)# wir ersetzen jeden #x# by #x^2# in der Serie für #sin(x)#

#sin(x^2) = (x^2) - (x^2)^3/(3!) + (x^2)^5/(5!) - ...#

# = x^2 - x^6/(3!) + x^10/(5!) - ....#

Was wir in Sigma-Summationsnotation schreiben können als;

#sum_(n=0 )^oo x^(4n+2)/((2n+1)!) * (-1)^n#