Wie finden Sie die Maclaurin-Reihe von #f (x) = e ^ (- 2x) #?

Die Maclaurin-Reihe von #f_{(x)}=e^{-2x}# is

#f_{(x)}=1+(-2x)+(-2x)^2/{2!}+(-2x)^3/{3!}+ . . .#

Erste Lösungsmethode: Die Maclaurin-Serie von #y=e^z# is

#y=1+z+z^2/{2!}+z^3/{3!}+z^4/{4!}+ . . .#

Lassen #z=-2x#.

Dann #quad f_{(x)}=e^{-2x}=e^zquad# und #f_{(x)}# hat die gleiche Maclaurin-Serie wie oben, außer dass wir eingestellt haben #z=-2x# und bekomme

#f_{(x)}=1+(-2x)+(-2x)^2/{2!}+(-2x)^3/{3!}+ . . .#

Ich habe die bekannte Maclaurin-Serie für verwendet #y=e^z# um die Antwort zu bekommen. Wenn diese Reihe nicht in der Klasse besprochen wurde, sollten Sie die allgemeine Definition einer Maclaurin-Reihe verwenden, um die Antwort zu erhalten.

Die Maclaurin-Reihe von #f_{(x)}# is

# f_{(x)}= f_((x=0))## quad +{f'_((x=0))}/{1!}x#

#quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad +{f''_((x=0))}/{2!]x^2#

#quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad+ {f'''_((x=0))}/{3!}x^3+. . . #

^ Konnte nicht alle Begriffe in dieselbe Zeile setzen, entschuldige die schlechte Formatierung.

Wie auch immer, die erste Amtszeit ist #f_{(x=0)}#. Hier, #quad f_{(x=0)}=e^{-2(0)}=1#.

Die zweite Amtszeit ist #{f'_{(x=0)}}/{1!}x={-2e^{-2(0)}}/1x=-2x#

Die dritte Amtszeit ist #{f''_{(x=0)}}/{2!}x^2={(-2)^2e^{-2(0)}}/{2!}x^2={(-2x)^2}/{2!}#

Dies sind die gleichen Begriffe wie in der Maclaurin-Reihe, die ich oben geschrieben habe.

Durch Beobachtung eines Musters wird die #n^{th}# laufzeit der serie ist #(-2x)^n/{n!}#

Unter Verwendung eines Summationszeichens kann die Maclaurin-Reihe von #f_{(x)}# kann stattdessen als geschrieben werden

#f_{(x)}=Sigma_{n=0}^{n=infty} [(-2x)^n/{n!} ]#