Wie finden Sie die Maclaurin-Reihe von $f (x) = e ^ (- 2x)$ ?

Die Maclaurin-Reihe von $f_{(x)}=e^{-2x}$ is

$f_{(x)}=1+(-2x)+(-2x)^2/{2!}+(-2x)^3/{3!}+ . . .$

Erste Lösungsmethode: Die Maclaurin-Serie von $y=e^z$ is

$y=1+z+z^2/{2!}+z^3/{3!}+z^4/{4!}+ . . .$

Lassen $z=-2x$ .

Dann $quad f_{(x)}=e^{-2x}=e^zquad$ und $f_{(x)}$ hat die gleiche Maclaurin-Serie wie oben, außer dass wir eingestellt haben $z=-2x$ und bekomme

$f_{(x)}=1+(-2x)+(-2x)^2/{2!}+(-2x)^3/{3!}+ . . .$

Ich habe die bekannte Maclaurin-Serie für verwendet $y=e^z$ um die Antwort zu bekommen. Wenn diese Reihe nicht in der Klasse besprochen wurde, sollten Sie die allgemeine Definition einer Maclaurin-Reihe verwenden, um die Antwort zu erhalten.

Die Maclaurin-Reihe von $f_{(x)}$ is

$f_{(x)}= f_((x=0))$ $quad +{f'_((x=0))}/{1!}x$

$quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad +{f''_((x=0))}/{2!]x^2$

$quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad+ {f'''_((x=0))}/{3!}x^3+. . .$

^ Konnte nicht alle Begriffe in dieselbe Zeile setzen, entschuldige die schlechte Formatierung.

Wie auch immer, die erste Amtszeit ist $f_{(x=0)}$ . Hier, $quad f_{(x=0)}=e^{-2(0)}=1$ .

Die zweite Amtszeit ist ${f'_{(x=0)}}/{1!}x={-2e^{-2(0)}}/1x=-2x$

Die dritte Amtszeit ist ${f''_{(x=0)}}/{2!}x^2={(-2)^2e^{-2(0)}}/{2!}x^2={(-2x)^2}/{2!}$

Dies sind die gleichen Begriffe wie in der Maclaurin-Reihe, die ich oben geschrieben habe.

Durch Beobachtung eines Musters wird die $n^{th}$ laufzeit der serie ist $(-2x)^n/{n!}$

Unter Verwendung eines Summationszeichens kann die Maclaurin-Reihe von $f_{(x)}$ kann stattdessen als geschrieben werden

$f_{(x)}=Sigma_{n=0}^{n=infty} [(-2x)^n/{n!} ]$

Wie finden Sie die Maclaurin-Reihe von f (x) = e ^ (- 2x) f (x) = e ^ (- 2x) ?

Wie finden Sie die Maclaurin-Reihe von $f (x) = e ^ (- 2x)$ ?