Wie finden Sie die Grenze von $x^{sin (x)}$ $x ^ (sin (x))$ , wenn sich x 0 nähert?

$1$ $1$

lassen $L = lim_(x to 0) x^(sin x)$

$implies ln L = ln lim_(x to 0) x^(sin x)$

$= lim_(x to 0) ln x^(sin x)$

$= lim_(x to 0) sinx ln x$

$= lim_(x to 0) (ln x)/(1/(sinx) )$

$= lim_(x to 0) (ln x)/(csc x )$

das ist unbestimmt $oo/oo$ bilden, damit wir die L'Hôpital-Regel verwenden können

$= lim_(x to 0) (1/x)/(- csc x cot x)$

$=- lim_(x to 0) (sin x tan x)/(x)$

Das nächste Bit ist unnötig, siehe Anmerkung von ratnaker-m unten ...

das ist jetzt unbestimmt $0/0$ bilden, damit wir wieder gehen können

$ln L =- lim_(x to 0) (cos x tan x + sin x sec^2 x)/(1)$

$= - 0$

Damit:
$L = e^(- 0) = 1$

Wie finden Sie die Grenze von x ^ (sin (x)) xsin(x) x ^ (sin (x)) , wenn sich x 0 nähert?