Wie finden Sie die Gleichungen für die Tangentialebene zur Oberfläche # x ^ 2 + 2z ^ 2 = y ^ 2 # bis # (1, 3, -2) #?

Zuerst ordnen wir die Gleichung der Oberfläche in die Form um # f(x,y,z)=0#

# x^2+2z^2 = y^2 #
# :. x^2 - y^2 + 2z^2 = 0 #

Und so haben wir unsere Funktion:

# f(x,y,z) = x^2 - y^2 + 2z^2 #

Um die Normale an einem bestimmten Punkt im Vektorraum zu finden, verwenden wir den Del- oder Gradientenoperator:

# grad f(x,y,z) = (partial f)/(partial x) hat(i) + (partial f)/(partial y) hat(j) + (partial f)/(partial z) hat(k) #

Denken Sie beim teilweisen Differenzieren daran, dass wir die betreffende Variable differenzieren, während wir die anderen Variablen als konstant behandeln. Und so:

# grad f = ((partial)/(partial x) (x^2 - y^2 + 2z^2))hat(i) + #
# " " ((partial)/(partial y) (x^2 - y^2 + 2z^2))hat(j) + #
# " " ((partial)/(partial z) (x^2 - y^2 + 2z^2))hat(k) #
# " "= 2xhat(i) - 2yhat(j) + 4zhat(k) #

Also für den bestimmten Punkt #(1,3,-2)# Der Normalenvektor zur Oberfläche ist gegeben durch:

# grad f(1,3,-2) = 2hat(i) -6hat(j) -8hat(k) #

Also die Tangentialebene an die Oberfläche # x^2+2z^2 = y^2 # hat diesen normalen Vektor und geht auch durch den Punkt #(1,3,-2)#. Es wird daher eine Vektorgleichung der Form haben:

# vec r * vec n = vec a * vec n #

Woher #vec r=((x),(y),(z))#; #vec n=( (2), (-6), (-8) )#ist der normale Vektor und #a# ist ein beliebiger Punkt in der Ebene

Daher lautet die Tangentialebenengleichung:

# ((x),(y),(z)) * ( (2), (-6),(-8) ) = ((1),(3),(-2)) * ( (2), (-6),(-8) ) #
# :. (x)(2) + (y)(-6) + (z)(-2) = (1)(2) + (3)(-6) + (-2)(-8) #
# :. 2x-6y-8z = 2-18+16 #
# :. 2x-6y-8z = 0 #
# :. x-3y-4z = 0 #

Wir können dies grafisch bestätigen: Hier ist die Oberfläche mit dem Normalenvektor:

und hier ist die Fläche mit der Tangentialebene und dem Normalenvektor: