Wie finden Sie die Gleichungen für die Tangentialebene zur Oberfläche x ^ 2 + 2z ^ 2 = y ^ 2 bis (1, 3, -2) ?
Antworten:
:. x-3y-4z = 0
Erläuterung:
Zuerst ordnen wir die Gleichung der Oberfläche in die Form um f(x,y,z)=0
x^2+2z^2 = y^2
:. x^2 - y^2 + 2z^2 = 0
Und so haben wir unsere Funktion:
f(x,y,z) = x^2 - y^2 + 2z^2
Um die Normale an einem bestimmten Punkt im Vektorraum zu finden, verwenden wir den Del- oder Gradientenoperator:
grad f(x,y,z) = (partial f)/(partial x) hat(i) + (partial f)/(partial y) hat(j) + (partial f)/(partial z) hat(k)
Denken Sie beim teilweisen Differenzieren daran, dass wir die betreffende Variable differenzieren, während wir die anderen Variablen als konstant behandeln. Und so:
grad f = ((partial)/(partial x) (x^2 - y^2 + 2z^2))hat(i) +
" " ((partial)/(partial y) (x^2 - y^2 + 2z^2))hat(j) +
" " ((partial)/(partial z) (x^2 - y^2 + 2z^2))hat(k)
" "= 2xhat(i) - 2yhat(j) + 4zhat(k)
Also für den bestimmten Punkt (1,3,-2) Der Normalenvektor zur Oberfläche ist gegeben durch:
grad f(1,3,-2) = 2hat(i) -6hat(j) -8hat(k)
Also die Tangentialebene an die Oberfläche x^2+2z^2 = y^2 hat diesen normalen Vektor und geht auch durch den Punkt (1,3,-2). Es wird daher eine Vektorgleichung der Form haben:
vec r * vec n = vec a * vec n
Woher vec r=((x),(y),(z)); vec n=( (2), (-6), (-8) )ist der normale Vektor und a ist ein beliebiger Punkt in der Ebene
Daher lautet die Tangentialebenengleichung:
((x),(y),(z)) * ( (2), (-6),(-8) ) = ((1),(3),(-2)) * ( (2), (-6),(-8) )
:. (x)(2) + (y)(-6) + (z)(-2) = (1)(2) + (3)(-6) + (-2)(-8)
:. 2x-6y-8z = 2-18+16
:. 2x-6y-8z = 0
:. x-3y-4z = 0
Wir können dies grafisch bestätigen: Hier ist die Oberfläche mit dem Normalenvektor:
und hier ist die Fläche mit der Tangentialebene und dem Normalenvektor:
