Wie finden Sie die Gleichungen beider Linien durch Punkt (2, -3), die die Parabel # y = x ^ 2 + x # tangieren?

Antworten:

Die Gleichungen der durchlaufenden Tangenten #(2,-3)# sind:

# y=-x-1 # und
#y = 11x-25#

Erläuterung:

Der Gradient der Tangente an eine Kurve an einem bestimmten Punkt ist durch die Ableitung der Kurve an diesem Punkt gegeben. Also für unsere Kurve (die Parabel) haben wir

# y=x^2+x #

Unterscheidung wrt #x# wir bekommen:

# dy/dx=2x+1 #

Lassen #P(alpha,beta)# sei ein beliebiger generischer Punkt auf der Kurve. Dann ist der Gradient der Tangente bei P gegeben durch:

# m = 2alpha + 1 # (using the derivative)

Und da P auf der Kurve liegt, haben wir auch:

# beta = alpha^2+alpha # (using the curve equation)

Und so die Tangente an #P# durchläuft #(alpha,alpha^2+alpha)# und hat Steigung #2alpha + 1#Verwenden Sie also die Punkt- / Neigungsform #y−y_1=m(x−x_1)# die Gleichung der Tangente an #P# ist;

#y - (alpha^2+alpha) = (2alpha+1)(x-alpha)#

wenn diese Tangente auch durchgeht #(2,-3)# dann;

# -3 - (alpha^2+alpha) = (2alpha+1)(2-alpha)#
# :. -3 - alpha^2-alpha = 3alpha-2alpha^2+2#
# :. alpha^2 -4alpha-5=0#
# :. (alpha-5)(alpha+1)=0#
# :. alpha =-1,5#

If #alpha =-1 => beta = 0 #und die Tangentengleichung wird:

#y - 0 = (-1)(x+1)#
# :. y=-x-1 #

If #alpha =5 => beta = 30#und die Tangentengleichung wird:

# y - 30 = (11)(x-5)#
# :. y - 30 = 11x-55#
# :. y = 11x-25#

Daher die Gleichungen der durchlaufenden Tangenten #(2,-3)# sind
# y=-x-1 # und #y = 11x-25#

Wir können dies grafisch bestätigen:
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