Wie finden Sie die Gleichungen beider Linien durch Punkt (2, -3), die die Parabel $y = x ^ 2 + x$ tangieren?

Antworten:

Die Gleichungen der durchlaufenden Tangenten $(2,-3)$ sind:

$y=-x-1$ und
$y = 11x-25$

Erläuterung:

Der Gradient der Tangente an eine Kurve an einem bestimmten Punkt ist durch die Ableitung der Kurve an diesem Punkt gegeben. Also für unsere Kurve (die Parabel) haben wir

$y=x^2+x$

Unterscheidung wrt $x$ wir bekommen:

$dy/dx=2x+1$

Lassen $P(alpha,beta)$ sei ein beliebiger generischer Punkt auf der Kurve. Dann ist der Gradient der Tangente bei P gegeben durch:

$m = 2alpha + 1$ (using the derivative)

Und da P auf der Kurve liegt, haben wir auch:

$beta = alpha^2+alpha$ (using the curve equation)

Und so die Tangente an $P$ durchläuft $(alpha,alpha^2+alpha)$ und hat Steigung $2alpha + 1$ Verwenden Sie also die Punkt- / Neigungsform $y−y_1=m(x−x_1)$ die Gleichung der Tangente an $P$ ist;

$y - (alpha^2+alpha) = (2alpha+1)(x-alpha)$

wenn diese Tangente auch durchgeht $(2,-3)$ dann;

$-3 - (alpha^2+alpha) = (2alpha+1)(2-alpha)$
$:. -3 - alpha^2-alpha = 3alpha-2alpha^2+2$
$:. alpha^2 -4alpha-5=0$
$:. (alpha-5)(alpha+1)=0$
$:. alpha =-1,5$

If $alpha =-1 => beta = 0$ und die Tangentengleichung wird:

$y - 0 = (-1)(x+1)$
$:. y=-x-1$

If $alpha =5 => beta = 30$ und die Tangentengleichung wird:

$y - 30 = (11)(x-5)$
$:. y - 30 = 11x-55$
$:. y = 11x-25$

Daher die Gleichungen der durchlaufenden Tangenten $(2,-3)$ sind
$y=-x-1$ und $y = 11x-25$

Wir können dies grafisch bestätigen:
Bildquelle hier eingeben

Wie finden Sie die Gleichungen beider Linien durch Punkt (2, -3), die die Parabel y = x ^ 2 + x y = x ^ 2 + x tangieren?

Antworten:

Erläuterung:

Wie finden Sie die Gleichungen beider Linien durch Punkt (2, -3), die die Parabel $y = x ^ 2 + x$ tangieren?