Wie finden Sie die Fläche von # r = 1 + cos (Theta) #?

Wenn der Pol r = 0 nicht außerhalb der Region liegt, ist die Fläche gegeben durch

#(1/2) int r^2 d theta#mit angemessenen Grenzen.

Die angegebene Kurve ist eine geschlossene Kurve mit der Bezeichnung Niere.

Es geht durch den Pol r = 0 und ist symmetrisch zum Anfangsbuchstaben

Linie #theta = 0#.

As #r = f(cos theta)#, r ist periodisch mit Punkt #2pi#.

Und so ist der von der Niere umschlossene Bereich

#(1/2) int r^2 d theta#, Über #theta in [0, 2pi]#.

#(1/2)(2) int (1+cos theta)^2 d theta, theta in [0, pi]#mit Symmetrie über #theta=0#

#=int (1+cos theta)^2 d theta, theta in [0, pi]#

#=int (1+2 cos theta + cos^2theta) d theta, theta in [0, pi]#

#=int (1+2 cos theta + (1+cos 2theta)/2) d theta, theta in [0, pi]#

#=[3/2theta+2sin theta]+(1/2)(1/2)sin 2theta]#,

zwischen den Grenzen #0 and pi#

#=(3pi)/2+0+0#