Wie finden Sie den Bereich des Parallelogramms mit den Eckpunkten k (1,2,3), l (1,3,6), m (3,8,6) und n (3,7,3)?

Die Antwort ist: #A=sqrt265#.

Es gibt zwei Möglichkeiten, die erste, nämlich SEHR LANG und kompliziert, die zweite, SEHR KURZ und einfach, aber wir müssen das vektorielle Produkt verwenden.

Der erste:

Überprüfen wir zunächst, ob es sich bei der Form wirklich um ein Parallelogramm handelt:

#KL=sqrt((x_K-x_L)^2+(y_K-y_L)^2+(x_K-z_L)^2)=#

#=sqrt((1-1)^2+(2-3)^2+(3-6)^2)=sqrt(0+1+9)=sqrt10#.

#MN=sqrt((3-3)^2+(8-7)^2+(6-3)^2)=sqrt(0+1+9)=sqrt10#.

So #KL=MN#

Die Richtung von #KL# ist der Vektor #vecv#

#vecv=(x_K-x_L,y_K-y_L,z_K-z_L)=(0,1,3)#.

Die Richtung von #MN# ist der Vektor #vecw#

#vecw=(x_M-x_N,y_M-y_N,z_M-z_N)=(0,1,3)#.

So #vecv# ist parallel zu #vecw#.

Also seit #KL=MN# und #KL# ist parallel zu #MN#ist die Form ein Parallelogramm.

Die Fläche eines Parallelogramms ist: #A=b*h#.

Wir können davon ausgehen, dass die Basis #b# is #KL=sqrt10#Das Finden der Höhe ist jedoch komplizierter, da es sich um den Abstand der beiden Linien handelt #r#, das beinhaltet #K and L#, und #s#, das beinhaltet #M and N#.

Eine Ebene senkrecht zu einer Linie kann geschrieben werden:

#a(x-x_P)+b(y-y_P)+c(z-z_P)=0#,

woher #vecd(a,b,c)# ist ein beliebiger Vektor senkrecht zum Plan, und #P# ist ein whaterver Punkt, der auf dem Plan liegt.

Finden #pi#, das ist ein Plan senkrecht zu #r#können wir davon ausgehen #vecd=vecv# und #P=K#.

Damit:

#pi: 0(x-1)+1(y-2)+3(z-3)=0rArry+3z-11=0#.

Eine Zeile kann als System aus drei Gleichungen in parametrischer Form geschrieben werden:

#x=x_P+at#
#y=y_P+bt#
#z=z_P+ct#

Woher #P# ist ein beliebiger Punkt der Linie und #vecd(a,b,c)# ist ein beliebiger Vektor, Richtung der Linie.

Finden #s#können wir davon ausgehen #P=M#, und #vecd=vecw#.

So #s#:

#x=3+0t#
#y=8+1t#
#z=6+3t#

oder:

#x=3#
#y=8+t#
#z=6+3t#.

Lösen Sie nun das System zwischen #pi# und #s# wir können finden #Q#Fuß der Höhe geleitet von #K# zu #s#.

#y+3z-11=0#
#x=3#
#y=8+t#
#z=6+3t#

#8+t+3(6+3t)-11=0rArr10t=-15rArrt=-3/2#.

Also, um den Punkt zu finden #Q#ist es notwendig zu setzen #t=-3/2# in der Gleichung von #s#.

#x=3#
#y=8-3/2#
#z=6+3(-3/2)#

Damit:

#x=3#

#y=13/2#

#z=3/2#

Nun zu finden #h#können wir die Formel der Entfernung von zwei Punkten verwenden, #K and Q#, soeben gesehen:

#h=sqrt((1-3)^2+(2-13/2)^2+(3-3/2)^2)=sqrt(2^2+(9/2)^2+(3/2)^2)=sqrt(4+81/4+9/4)=sqrt((16+81+9)/4)=sqrt106/2#.

Schließlich ist das Gebiet:

#A=sqrt10sqrt106/2=sqrt1060/2=sqrt(4*265)/2=sqrt265#.

Der zweite.

Wir können uns daran erinnern, dass das vektorielle Produkt zwischen zwei Vektoren ein Vektor ist, dessen Länge der Bereich des Parallelogramms ist, der die beiden Vektoren als zwei Seiten hat.

Der vektor: #vec(KL)=(0,1,3)#,
der Vektor #vec(KM)=(2,6,3)#.

Und jetzt müssen wir tun: #vec(KL)xxvec(KM)#

Wir können die Matrix erstellen:

erste Reihe: #[i,j,k]#,
zweite Reihe #[0,1,3]#,
dritte Zeile#[2,6,3]#.

Die Determinante ist der Vektor: #-15veci+6vecj-2veck#und seine Länge ist: #sqrt(225+36+4)=sqrt265# das ist der gewünschte Bereich.

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