Wie finden Sie das Volumen des Festkörpers im ersten Oktanten, der durch die Koordinatenebenen, den Zylinder # x ^ 2 + y ^ 2 = 9 # und die Ebene x + z = 9 begrenzt wird?

Die Graphen des Flugzeugs #x+z=9# und die Oberfläche #x^2+y^2=9# sind wie folgt:

Wir können uns ein dreifaches Integral geben lassen, um das Volumen wie folgt darzustellen:

# v= int int int_R dV#

woher

#R={ (x,y,z) | x,y,z>0; x^2+y^2<=9; z<9-x }#

Und so können wir ein doppeltes Integral wie folgt aufbauen:

# v= int_a^b int_c^d f(z) dx dy #
# = int_a^b int_c^d (9-x) dx dy #

Wir bestimmen nun die Grenzen der Integration, indem wir einen Querschnitt in der #xy#-Ebene, die ein Viertelkreis mit dem Radius 3 in der Mitte des ist #O#und so haben wir:

# 0 le x le sqrt(9-y^2)# and # 0 le y le 3#

Unser Integral für das Volumen ist also:

# v= int_0^3 int_0^(sqrt(9-y^2)) (9-x) dx dy #

Mit verschachteltem Integral bewerten wir von innen nach außen, also lasst uns mit dem inneren Integral befassen;

# int_0^(sqrt(9-y^2)) (9-x) dx = [9x-1/2x^2]_0^(sqrt(9-y^2)) #
# " " = 9(sqrt(9-y^2))-1/2(sqrt(9-y^2))^2 #
# " " = 9sqrt(9-y^2)-1/2(9-y^2) #

Und so wird unser Doppelintegral nun:

# v= int_0^3 {9sqrt(9-y^2)-1/2(9-y^2) } dy #

Und für dieses Integral können wir uns in zwei Teile aufteilen

# I_1 = int_0^3 9sqrt(9-y^2) dy# and # I_2 = int_0^3 -1/2(9-y^2) dy #

Wir können nur das zweite Integral auswerten, um Folgendes zu erhalten:

# I_2 = -1/2[ 9y-1/3y^3 ]_0^3 #
# = (-1/2){(9)(3)-1/3(27) - 0} #
# = -9 #

Und für das erste Integral verwenden wir die Substitution #y=3sinu#, was das Ergebnis ergibt:

# I_1 = 9 int_0^3 sqrt(9-y^2) dy #
# = 9 [ysqrt(9-y^2)/2 + 9/2 arcsin(y/3) ]_0^3 #
# = 9 {(0+9/2pi/2) - (0+0) } #
# = (81pi)/4 #

HINWEIS - Sie können auch feststellen, dass das obige Integral #int_0^3 sqrt(9-y^2) dy# repräsentiert die Fläche eines Viertelkreises mit Radius #3#, die daher Fläche hat, #A=1/4pi(3^2) = (9pi)/4# was wieder gibt #I_2=9A = (81pi)/4#.

Die Kombination unserer Ergebnisse ergibt das Gesamtvolumen als:

# v= (81pi)/4 - 9#
# = (81pi)/4 - 9#
# = 54.617251 ... #