Wie finden Sie das Volumen des Festkörpers im ersten Oktanten, der durch die Koordinatenebenen, den Zylinder x ^ 2 + y ^ 2 = 9 und die Ebene x + z = 9 begrenzt wird?
Antworten:
Die Lautstärke ist (81pi)/4 - 9 = 54.6173 (4dp) unit^3
Erläuterung:
Die Graphen des Flugzeugs x+z=9 und die Oberfläche x^2+y^2=9 sind wie folgt:
Wir können uns ein dreifaches Integral geben lassen, um das Volumen wie folgt darzustellen:
v= int int int_R dV
woher
R={ (x,y,z) | x,y,z>0; x^2+y^2<=9; z<9-x }
Und so können wir ein doppeltes Integral wie folgt aufbauen:
v= int_a^b int_c^d f(z) dx dy
= int_a^b int_c^d (9-x) dx dy
Wir bestimmen nun die Grenzen der Integration, indem wir einen Querschnitt in der xy-Ebene, die ein Viertelkreis mit dem Radius 3 in der Mitte des ist Ound so haben wir:
0 le x le sqrt(9-y^2) and 0 le y le 3
Unser Integral für das Volumen ist also:
v= int_0^3 int_0^(sqrt(9-y^2)) (9-x) dx dy
Mit verschachteltem Integral bewerten wir von innen nach außen, also lasst uns mit dem inneren Integral befassen;
int_0^(sqrt(9-y^2)) (9-x) dx = [9x-1/2x^2]_0^(sqrt(9-y^2))
" " = 9(sqrt(9-y^2))-1/2(sqrt(9-y^2))^2
" " = 9sqrt(9-y^2)-1/2(9-y^2)
Und so wird unser Doppelintegral nun:
v= int_0^3 {9sqrt(9-y^2)-1/2(9-y^2) } dy
Und für dieses Integral können wir uns in zwei Teile aufteilen
I_1 = int_0^3 9sqrt(9-y^2) dy and I_2 = int_0^3 -1/2(9-y^2) dy
Wir können nur das zweite Integral auswerten, um Folgendes zu erhalten:
I_2 = -1/2[ 9y-1/3y^3 ]_0^3
= (-1/2){(9)(3)-1/3(27) - 0}
= -9
Und für das erste Integral verwenden wir die Substitution y=3sinu, was das Ergebnis ergibt:
I_1 = 9 int_0^3 sqrt(9-y^2) dy
= 9 [ysqrt(9-y^2)/2 + 9/2 arcsin(y/3) ]_0^3
= 9 {(0+9/2pi/2) - (0+0) }
= (81pi)/4
HINWEIS - Sie können auch feststellen, dass das obige Integral int_0^3 sqrt(9-y^2) dy repräsentiert die Fläche eines Viertelkreises mit Radius 3, die daher Fläche hat, A=1/4pi(3^2) = (9pi)/4 was wieder gibt I_2=9A = (81pi)/4.
Die Kombination unserer Ergebnisse ergibt das Gesamtvolumen als:
v= (81pi)/4 - 9
= (81pi)/4 - 9
= 54.617251 ...