Wie finden Sie das Volumen der Region, die von den Diagrammen y = x ^ 2 und y = sqrt x um die x-Achse begrenzt wird?
Antworten:
color(blue)(pi/3 "cubic units.")
Erläuterung:
Aus der Grafik können wir ersehen, dass das gesuchte Volumen zwischen den beiden Funktionen liegt. Um dies zu finden, müssen wir das Revolutionsvolumen von finden f(x)=sqrt(x) und subtrahieren Sie das Volumen der Umdrehung von f(x)=x^2. Dies wird als schattierter Bereich angezeigt.
Zuerst müssen wir die oberen und unteren Grenzen finden. Wir wissen, dass die Untergrenze ist 0 da f(x)=sqrt(x) ist undefiniert für x<0. In der oberen Schranke kreuzen sich die Funktionen:
:.
x^2=sqrt(x)
x^2/x^(1/2)=1
x^(3/2)=1
Quadrieren:
x^3=1
x=root(3)(1)=1
Lautstärke von bb(f(x)=sqrt(x)):
pi int_(0)^(1)(x^(1/2))=pi[2/3x^(3/2)]_(0)^(1)
=pi{[2/3x^(3/2)]^(1)-[2/3x^(3/2)]_(0)}
Einstecken der oberen und unteren Schranken:
=pi{[2/3(1)^(3/2)]^(1)-[2/3(0)^(3/2)]_(0)}=(2pi)/3 kubische Einheiten
Lautstärke von bb(f(x)=x^2)
pi int_(0)^(1)(x^2)=pi[1/3x^3]_(0)^(1)
=pi{[[1/3x^3]^(1)-[1/3x^3]_(0)}
Einstecken der oberen und unteren Schranken:
=pi{[[1/3(1)^3]^(1)-[1/3(0)^3]_(0)}=pi/3 kubische Einheiten.
Erforderliches Volumen ist:
(2pi)/3-pi/3=color(blue)(pi/3 "cubic units.")
Volumen der Umdrehung:
