Wie finden Sie das Volumen, das durch $y = ln (x)$ $y = ln (x)$ und die Linien y = 0, x = 2 begrenzt ist, die sich um die y-Achse drehen?

Antworten:

Zur Lösung durch Zylinderschalen siehe unten.

Erläuterung:

Hier ist ein Bild der Region und eine repräsentative Schicht, die parallel zur Rotationsachse aufgenommen wurde.

Bildquelle hier eingeben

Die Scheibe wird mit einem Wert von genommen $x$ $x$ und hat Dicke $d x$ $dx$ . Unsere Funktionen müssen also Funktionen von sein $x$ $x$

Dreh um die $y$ $y$ Achse führt zu einer zylindrischen Hülle.

Das Volumen dieser repräsentativen Hülle beträgt

$2 π r h thickness$ $2pirh " thickness"$

Der Radius ist im Bild als gestrichelte schwarze Linie dargestellt und hat Länge $r = x$ $r = x$

Die Höhe der Schale wird die große sein $y$ $y$ Wert minus der kleinere $y$ $y$ Wert. Da der kleinere $y$ $y$ Wert ist $0$ $0$ , Haben wir $h = ln x$ $h = lnx$
Wie bereits erwähnt, beträgt die Dicke $d x$ $dx$

Das repräsentative Volumen ist
$2 π x ln x d x$ $2pixlnxdx$

$x$ $x$ variiert zwischen $1$ $1$ zu $2$ $2$ Der Feststoff hat also Volumen

$V = \int_{1}^{2} 2 π x ln x d x = 2 π \int_{1}^{2} x ln x d x$ $V = int_1^2 2pixlnx dx = 2 pi int_1^2 xlnx dx$

Testen Sie mit Integration in Teilstücken bekommen

$= 2 π (2 ln 2 - \frac{3}{4})$ $= 2pi(2ln2-3/4)$

(Schreiben Sie die Antwort nach Geschmack.)

Wie finden Sie das Volumen, das durch y=ln(x) y = ln (x) und die Linien y = 0, x = 2 begrenzt ist, die sich um die y-Achse drehen?

Antworten:

Erläuterung:

Wie finden Sie das Volumen, das durch $y = ln (x)$ $y = ln (x)$ und die Linien y = 0, x = 2 begrenzt ist, die sich um die y-Achse drehen?