Wie finden Sie das Volumen, das durch # y = ln (x) # und die Linien y = 0, x = 2 begrenzt ist, die sich um die y-Achse drehen?
Antworten:
Zur Lösung durch Zylinderschalen siehe unten.
Erläuterung:
Hier ist ein Bild der Region und eine repräsentative Schicht, die parallel zur Rotationsachse aufgenommen wurde.
Die Scheibe wird mit einem Wert von genommen #x# und hat Dicke #dx#. Unsere Funktionen müssen also Funktionen von sein #x#
Dreh um die #y# Achse führt zu einer zylindrischen Hülle.
Das Volumen dieser repräsentativen Hülle beträgt
#2pirh " thickness"#
Der Radius ist im Bild als gestrichelte schwarze Linie dargestellt und hat Länge #r = x#
Die Höhe der Schale wird die große sein #y# Wert minus der kleinere #y# Wert. Da der kleinere #y# Wert ist #0#, Haben wir #h = lnx#
Wie bereits erwähnt, beträgt die Dicke #dx#
Das repräsentative Volumen ist
#2pixlnxdx#
#x# variiert zwischen #1# zu #2#Der Feststoff hat also Volumen
#V = int_1^2 2pixlnx dx = 2 pi int_1^2 xlnx dx#
Testen Sie mit Integration in Teilstücken bekommen
# = 2pi(2ln2-3/4)#
(Schreiben Sie die Antwort nach Geschmack.)