Wie finden Sie alle Zahlen c, die die Schlussfolgerung des Mittelwertsatzes für #f (x) = x ^ 3 + x - 1 # über [0,2] erfüllen?

Finden Sie zuerst die Ableitung: #f'(x)=3x^2+1#. Als nächstes finden Sie die durchschnittliche Änderungsrate von #f# über das Intervall #[0,2]#: #frac{f(2)-f(0)}{2-0}=frac{10}{2}=5#. An dieser Stelle setzen #f'(c)=5# und lösen für #c# wie folgt: #3c^{2}+1=5# so #3c^{2}=4# und #c^{2}=frac{4}{3}#. Es gibt einen Wert von #c# zwischen 0 und 2, die die Schlussfolgerung des Mittelwertsatzes erfüllen: #c=sqrt{4/3}=sqrt{4}/sqrt{3}=2/sqrt{3}=frac{2sqrt{3}}{3}#.