Wie finden Sie alle Zahlen c, die die Schlussfolgerung des Mittelwertsatzes für `f (x) = x ^ 3 + x - 1` über [0,2] erfüllen?

Finden Sie zuerst die Ableitung: `f'(x)=3x^2+1`. Als nächstes finden Sie die durchschnittliche Änderungsrate von `f` über das Intervall `[0,2]`: `frac{f(2)-f(0)}{2-0}=frac{10}{2}=5`. An dieser Stelle setzen `f'(c)=5` und lösen für `c` wie folgt: `3c^{2}+1=5` so `3c^{2}=4` und `c^{2}=frac{4}{3}`. Es gibt einen Wert von `c` zwischen 0 und 2, die die Schlussfolgerung des Mittelwertsatzes erfüllen: `c=sqrt{4/3}=sqrt{4}/sqrt{3}=2/sqrt{3}=frac{2sqrt{3}}{3}`.