Wie erhält man die komplexe Kubikwurzel von 8?

Die Kubikwurzeln von #8# sind #2#, #2omega# und #2omega^2# woher #omega=-1/2+sqrt(3)/2 i# ist die primitive komplexe Kubikwurzel von #1#.

Hier sind die Kubikwurzeln von #8# Auf dem Radiuskreis in der komplexen Ebene aufgetragen #2#:

graph{(x^2+y^2-4)((x-2)^2+y^2-0.01)((x+1)^2+(y-sqrt(3))^2-0.01)((x+1)^2+(y+sqrt(3))^2-0.01) = 0 [-5, 5, -2.5, 2.5]}

Sie können geschrieben werden als:

#2(cos(0)+i sin(0)) = 2#

#2(cos((2pi)/3) + i sin((2pi)/3)) = -1 + sqrt(3)i = 2omega#

#2(cos((4pi)/3) + i sin((4pi)/3)) = -1 - sqrt(3)i = 2omega^2#

Eine Möglichkeit, diese Kubikwurzeln von zu finden #8# ist es, alle Wurzeln von zu finden #x^3-8 = 0#.

#x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)#

Der quadratische Faktor kann mit gelöst werden die quadratische Formel:

#x = (-b +-sqrt(b^2-4ac))/(2a)#

#= (-2+-sqrt(2^2-(4xx1xx4)))/(2*1)#

#=(-2+-sqrt(-12))/2#

#=-1+-sqrt(3)i#