Welche Höhe h und welcher Basisradius r maximieren das Volumen des Zylinders, wenn der Behälter in Form eines rechten Kreiszylinders ohne Oberseite die Oberfläche #3pi ft ^ 2 # hat?

Die maximale Lautstärke tritt auf, wenn #r=1 " ft"# und #h=1 " ft"#.

Setup (Finden Sie die zu optimierende Funktion)
Für einen Zylinder ist das Volumen #V= pi r^2 h#

Und für einen Zylinder ohne Oberseite ist die Oberfläche #A= pi r^2 + 2 pi rh#

Angesichts der Gegend ist #3 pi#können wir die Lautstärke mit einer Variablen anstelle von zwei ausdrücken.
#A= pi r^2 + 2 pi rh = 3 pi#.

Lösen für #h# sieht einfacher aus als zu lösen #r#Versuchen wir es also so
(Ich jetzt wird es funktionieren, weil ich das seit Jahren mache. Aber ein Student ist sich nicht sicher.)

#pi r^2 + 2 pi rh = 3 pi#.
führt zu #h=(3 pi - pi r^2)/(2 pi r)=(3-r^2)/(2r)# (Domain: #r>0#)

Wenn wir die Formel für das Volumen einsetzen, erhalten wir:

#V= pi r^2 ((3-r^2)/(2r))= pi/2(3r-r^3)# (Domain: #r>0#)

Dies ist die Funktion, die wir maximieren sollen.

Funktion optimieren

#V'= pi/2(3-3r^2)= (3 pi)/2(1-r^2)#

#V'=0# at #r=+-1#. Wir notieren das #-1# befindet sich nicht in der Domäne, daher ist der einzige kritische Punkt #r=1#

#V''(r)=-3 pi r#, damit #V''(1) < 0# und der Test der zweiten Ableitung sagt uns, dass V (1) ein lokales Maximum ist. Die Tatsache, dass es nur einen kritischen Punkt gibt, ermöglicht es uns, das Wort "lokal" in "global" zu ändern.

Beantwortung der Frage

Jetzt lesen wir die Frage erneut, um zu entscheiden, wie sie beantwortet werden soll. Wir wurden gefragt #r# und #h# um die maximale Lautstärke zu erreichen.
Wann #r=1# wir verwenden die obige Ersetzung, um das zu sehen #h=(3-(1)^2)/(2(1))=2/2=1#

Antworten:
Die maximale Lautstärke tritt auf, wenn #r=1 " ft"# und #h=1 " ft"#.