Was sind einige Beispiele für nicht differenzierbare Funktionen?

Es gibt drei Möglichkeiten, wie eine Funktion nicht differenzierbar sein kann. Wir werden uns alle 3-Fälle ansehen.

Fall 1
Eine Funktion, die nicht differenzierbar ist, wenn sie diskontinuierlich ist.

Beispiel (1a) f $(x)=cotx$ ist bei nicht differenzierbar $x=n pi$ für alle ganzen Zahlen $n$ .

graph {y = cotx [-10, 10, -5, 5]}

Beispiel (1b) $f(x)= (x^3-6x^2+9x)/(x^3-2x^2-3x)$ ist bei nicht differenzierbar $0$ und $3$ und $-1$
Beachten Sie, dass $f(x)=(x(x-3)^2)/(x(x-3)(x+1))$
Leider zeigt das Grafikprogramm die Löcher bei nicht an $(0, -3)$ und $(3,0)$

graph{(x^3-6x^2+9x)/(x^3-2x^2-3x) [-10, 10, -5, 5]}

Beispiel 1c) Definieren $f(x)$ sein $0$ if $x$ ist eine rationale Zahl und $1$ if $x$ ist irrational. Die Funktion ist überhaupt nicht differenzierbar $x$ .

Beispiel 1d) Beschreibung: Stückweise definierte Funktionen können Diskontinuitäten aufweisen.

Fall 2
Eine Funktion ist nicht unterscheidbar, wenn sie eine "Spitze" oder einen "Eckpunkt" hat.
Dies geschieht um $a$ if $f'(x)$ ist für alle definiert $x$ in der Nähe von $a$ (alle $x$ in einem offenen Intervall mit $a$ ) außer um $a$ , Aber $lim_(xrarra^-)f'(x) != lim_(xrarra^+)f'(x)$ . (Entweder weil sie existieren, aber ungleich sind oder weil eine oder beide nicht existieren.)

Beispiel 2a) $f(x)=abs(x-2)$ Ist bei nicht differenzierbar $2$ .
(Diese Funktion kann auch geschrieben werden: $f(x)=sqrt(x^2-4x+4))$

graph {abs (x-2) [-3.86, 10.184, -3.45, 3.57]}

Beispiel 2b) $f(x)=x+root(3)(x^2-2x+1)$ Ist bei nicht differenzierbar $1$ .

Grafik {x + Wurzel (3) (x ^ 2-2x + 1) [-3.86, 10.184, -3.45, 3.57]}

Fall 3

Eine Funktion ist bei nicht differenzierbar $a$ wenn es eine vertikale Tangentenlinie bei hat $a$ .
$f$ hat eine vertikale Tangentenlinie bei $a$ if $f$ ist kontinuierlich bei $a$ und

$lim_(xrarra)abs(f'(x))=oo$

Beispiel 3a) $f(x)= 2+root(3)(x-3)$ hat vertikale Tangentenlinie bei $1$ . Und deshalb ist bei nicht differenzierbar $1$ .

Grafik {2 + (x-1) ^ (1 / 3) [-2.44, 4.487, -0.353, 3.11]}

Beispiel 3b) Für einige Funktionen betrachten wir nur einseitige Grenzen: $f(x)=sqrt(4-x^2)$ hat eine vertikale Tangentenlinie bei $-2$ und $2$ .

$lim_(xrarr2)abs(f'(x))$ Existiert nicht, aber

$lim_(xrarr2^-)abs(f'(x))=oo$

graph {sqrt (4-x ^ 2) [-3.58, 4.213, -1.303, 2.592]}

Beispiel 3c) $f(x)=root(3)(x^2)$ hat eine Spitze und eine vertikale Tangentenlinie bei $0$ .

Graph {x ^ (2 / 3) [-8.18, 7.616, -2.776, 5.126]}

Hier ist ein Link, den Sie vielleicht hilfreich finden:
http://socratic.org/calculus/derivatives/differentiable-vs-non-differentiable-functions