Was ist eine Potenzreihendarstellung für f (x) = ln (1 + x) und wie groß ist ihr Konvergenzradius?
Antworten:
ln(1+x) = sum_(n=0)^oo (-1)^nx^(n+1)/(n+1)
mit Konvergenzradius R=1.
Erläuterung:
Ausgehend von der Summe der geometrische Reihe:
sum_(n=0)^oo q^n = 1/(1-q)
konvergierend für abs q < 1.
Lassen x = -q haben:
sum_(n=0)^oo (-1)^nx^n = 1/(1+x)
Innerhalb des Konvergenzintervalls x in (-1,1) wir können die serie begriff für begriff integrieren:
int_0^x dt/(1+t) = sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^ndt
und erhalten Sie eine Reihe mit dem gleichen Konvergenzradius R=1:
ln(1+x) = sum_(n=0)^oo (-1)^nx^(n+1)/(n+1)