Was ist eine Potenzreihendarstellung für #f (x) = ln (1 + x) # und wie groß ist ihr Konvergenzradius?

Ausgehend von der Summe der geometrische Reihe:

#sum_(n=0)^oo q^n = 1/(1-q)#

konvergierend für #abs q < 1#.

Lassen # x = -q # haben:

#sum_(n=0)^oo (-1)^nx^n = 1/(1+x)#

Innerhalb des Konvergenzintervalls #x in (-1,1)# wir können die serie begriff für begriff integrieren:

#int_0^x dt/(1+t) = sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^ndt#

und erhalten Sie eine Reihe mit dem gleichen Konvergenzradius #R=1#:

#ln(1+x) = sum_(n=0)^oo (-1)^nx^(n+1)/(n+1)#