Was ist die Taylorreihenerweiterung für die Tangensfunktion (tanx)?

Antworten:

$tan x = x + 1/3x^3 +2/15x^5 + ...$

Erläuterung:

Die Maclaurin-Reihe ist gegeben durch

$f(x) = f(0) + (f'(0))/(1!)x + (f''(0))/(2!)x^2 + (f'''(0))/(3!)x^3 + ... (f^((n))(0))/(n!)x^n + ...$

Wir beginnen mit der Funktion

$f^((0))(x) = f(x) = tanx$

Dann berechnen wir die ersten Ableitungen:

$= sec^2(x)$

$f^((2))(x) = (2 sec^2x)(secx tanx)()$
$= 2 sec^2x tanx$
$= 2 (1+tan^2x) tanx$
$= 2 (tanx+tan^3x)$

$f^((3))(x) = 2{sec^2x+3tan^2x sec^2x}$
$= 2sec^2x{1+3tan^2x}$
$= 2sec^2x{1+3(sec^2x-1)}$
$= 2sec^2x{1+3sec^2x-3}$
$= 6sec^4x-4sec^2x$

$vdots$

Jetzt haben wir die Ableitungen, wir können ihre Werte berechnen, wenn $x=0$

$f^((0))(x) = 0$
$f^((1))(x) = 1$
$f^((2))(x) = 0$
$f^((3))(x) = 2$
$vdots$

Was uns erlaubt, die Maclaurin-Serie zu bilden:

$f(x) = (0) + (1)/(1)x + (0)/(2)x^2 + (2)/(6)x^3 + ... (f^((n))(0))/(n!)x^n + ...$

$= x + 1/3x^3 + 2/15^5x^5 + ...$