Was ist die Maclaurin-Reihe von $f (x) = {sin}^{2} (x)$ $f (x) = sin ^ 2 (x)$ ?

Die Maclaurin-Serie ist nur der Spezialfall für die Taylor-Serie $a = 0$ $a = 0$ .

$N \sum n = 1 \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n}$ $sum_(n=1)^N (f^((n))(0))/(n!)x^n$

$= (f(0))/(0!)x^0 + (f'(0))/(1!)x^1 + (f''(0))/(2!)x^2 + (f'''(0))/(3!)x^3 + ...$

Also sollten wir nehmen $n$ Ableitungen, bis wir ein Muster finden.

$f^((0))(x) = color(green)(f(x) = sin^2x)$
$color(green)(f'(x) = 2sinxcosx)$
$color(green)(f''(x)) = 2[sinx*-sinx + cosx*cosx] = 2(cos^2x - sin^2x)$
$= color(green)(2cos(2x))$
$color(green)(f'''(x)) = 2*-sin(2x)*2 = color(green)(-4sin(2x))$
$color(green)(f''''(x)) = -4cos(2x)*2 = color(green)(-8cos(2x))$
$color(green)(f'''''(x)) = 8sin(2x)*2 = color(green)(16sin(2x))$
$color(green)(f''''''(x)) = 16cos(2x)*2 = color(green)(32cos(2x))$

Ich denke, das ist ungefähr so weit, wie wir gehen müssen. Mal sehen, was wir bekommen!

$sum_(n=1)^6 (f^((n))(0))/(n!)x^n$

$= (sin^2(0))/(0!)x^0 + (2sin(0)cos(0))/(1!)x^1 + (2cos(2*0))/(2!)x^2 + (-4sin(2*0))/(3!)x^3 + (-8cos(2*0))/(4!)x^4 + (16sin(2*0))/(5!)x^5 + (32cos(2*0))/(6!)x^6 + ...$

$= 0 + 0 + 2/2 x^2 + 0 + (-8)/(24)x^4 + 0 + 32/720 x^6 ...$

$= color(blue)(x^2 - x^4/3 + 2/45 x^6 - ...)$

Was ist die Maclaurin-Reihe von f (x) = sin ^ 2 (x) f(x)=sin2(x)f (x) = sin ^ 2 (x) ?

Was ist die Maclaurin-Reihe von $f (x) = {sin}^{2} (x)$ $f (x) = sin ^ 2 (x)$ ?