Was ist die Grenze, wenn sich x der Unendlichkeit von # e ^ x # nähert?

#color(white)()#
Als echte Funktion

Bearbeitung #e^x# als eine Funktion der reellen Werte von #x#hat es die folgenden Eigenschaften:

• Die Domäne von #e^x# ist das Ganze von #RR#.

• Die Reichweite von #e^x# is #(0, oo)#.

• #e^x# ist im Ganzen kontinuierlich #RR# und unendlich differenzierbar, mit #d/(dx) e^x = e^x#.

• #e^x# Eins zu Eins, hat also eine gut definierte Umkehrfunktion (#ln x#) von #(0, oo)# auf zu #RR#.

• #lim_(x->+oo) e^x = +oo#

• #lim_(x->-oo) e^x = 0#

Auf den ersten Blick beantwortet dies die Frage, aber was ist mit komplexen Werten von #x#?

#color(white)()#
Als komplexe Funktion

Behandelt in Abhängigkeit von komplexen Werten von #x#, #e^x# hat die Eigenschaften:

• Die Domäne von #e^x# ist das Ganze von #CC#.

• Die Reichweite von #e^x# is #CC "" { 0 }#.

• #e^x# ist im Ganzen kontinuierlich #CC# und unendlich differenzierbar, mit #d/(dx) e^x = e^x#.

• #e^x# ist viele zu eins, hat also keine Umkehrfunktion. Die Definition von #ln x# kann um eine Funktion von erweitert werden #CC "" { 0 }# in #CC#, typischerweise auf #{ x + iy : x in RR, y in (- pi, pi] }#.

Was meinen wir mit der Grenze von #e^x# as #x -> "infinity"# in diesem Kontext?

Vom Ursprung aus können wir auf verschiedenste Weise in Richtung "Unendlichkeit" aufbrechen.

Wenn wir zum Beispiel nur entlang der imaginären Achse losfahren, ist der Wert von #e^x# Geht einfach um und um den Einheitskreis.

Wenn wir eine komplexe Zahl wählen #c = r(cos theta + i sin theta)#, dann folge der Linie #ln r + it# in #t in RR# as #t->+oo#, der Wert von #e^(ln r + it)# wird den Wert nehmen #c# unendlich oft.

Wir können die komplexe Ebene auf eine Kugel projizieren, die Riemann-Kugel genannt wird #CC_oo#, mit einem zusätzlichen Punkt namens #oo#. Dies ermöglicht es uns, die "Nachbarschaft von #oo#"und denke über das Verhalten der Funktion nach #e^x# gibt.

Aus unseren vorhergehenden Beobachtungen, #e^x# nimmt jeden komplexen Wert ungleich Null unendlich oft in einer beliebig kleinen Nachbarschaft von #oo#. Das nennt man ein essentielle Singularität im Unendlichen.