Was ist die Grenze, wenn sich x der Unendlichkeit von `e ^ x` nähert?

`color(white)()`
Als echte Funktion

Bearbeitung `e^x` als eine Funktion der reellen Werte von `x`hat es die folgenden Eigenschaften:

• Die Domäne von `e^x` ist das Ganze von `RR`.

• Die Reichweite von `e^x` is `(0, oo)`.

• `e^x` ist im Ganzen kontinuierlich `RR` und unendlich differenzierbar, mit `d/(dx) e^x = e^x`.

• `e^x` Eins zu Eins, hat also eine gut definierte Umkehrfunktion (`ln x`) von `(0, oo)` auf zu `RR`.

• `lim_(x->+oo) e^x = +oo`

• `lim_(x->-oo) e^x = 0`

Auf den ersten Blick beantwortet dies die Frage, aber was ist mit komplexen Werten von `x`?

`color(white)()`
Als komplexe Funktion

Behandelt in Abhängigkeit von komplexen Werten von `x`, `e^x` hat die Eigenschaften:

• Die Domäne von `e^x` ist das Ganze von `CC`.

• Die Reichweite von `e^x` is `CC "" { 0 }`.

• `e^x` ist im Ganzen kontinuierlich `CC` und unendlich differenzierbar, mit `d/(dx) e^x = e^x`.

• `e^x` ist viele zu eins, hat also keine Umkehrfunktion. Die Definition von `ln x` kann um eine Funktion von erweitert werden `CC "" { 0 }` in `CC`, typischerweise auf `{ x + iy : x in RR, y in (- pi, pi] }`.

Was meinen wir mit der Grenze von `e^x` as `x -> "infinity"` in diesem Kontext?

Vom Ursprung aus können wir auf verschiedenste Weise in Richtung "Unendlichkeit" aufbrechen.

Wenn wir zum Beispiel nur entlang der imaginären Achse losfahren, ist der Wert von `e^x` Geht einfach um und um den Einheitskreis.

Wenn wir eine komplexe Zahl wählen `c = r(cos theta + i sin theta)`, dann folge der Linie `ln r + it` in `t in RR` as `t->+oo`, der Wert von `e^(ln r + it)` wird den Wert nehmen `c` unendlich oft.

Wir können die komplexe Ebene auf eine Kugel projizieren, die Riemann-Kugel genannt wird `CC_oo`, mit einem zusätzlichen Punkt namens `oo`. Dies ermöglicht es uns, die "Nachbarschaft von `oo`"und denke über das Verhalten der Funktion nach `e^x` gibt.

Aus unseren vorhergehenden Beobachtungen, `e^x` nimmt jeden komplexen Wert ungleich Null unendlich oft in einer beliebig kleinen Nachbarschaft von `oo`. Das nennt man ein essentielle Singularität im Unendlichen.