Was ist die Ableitung von $arctan sqrt [(1-x) / (1 + x)]$ ?

Ich habe:

$-(1)/(2sqrt(1-x^2))$

Die Ableitung von $arctanu$ is $(1/(1+(u(x))^2))((du(x))/(dx))$ .

Also seit $u(x) = sqrt((1-x)/(1+x))$ :

$d/(dx)(arctansqrt((1-x)/(1+x)))$

$= 1/(1+(1-x)/(1+x))*(1/(2sqrt((1-x)/(1+x))))*[((1+x)*(-1) - (1-x)*(1))/(1+x)^2]$

Sie können sehen, dass es hier mehrere Kettenregeln gibt.

$= [(-1cancel(-x)-1cancel(+x))/(1+x)^2][1/(2sqrt((1-x)/(1+x))(1+(1-x)/(1+x)))]$

Multiplizieren Sie in der $sqrt((1-x)/(1+x))$ und stornieren Sie die $2$ :

$= [(-cancel(2))/(1+x)^2][1/(cancel(2)(sqrt((1-x)/(1+x))+((1-x)/(1+x))^"3/2"))]$

Füge die Fraktionen zusammen:

$= -(1)/((1+x)^"4/2"(sqrt((1-x)/(1+x))+((1-x)/(1+x))^"3/2"))$

Multiplizieren Sie in der $(1+x)^"4/2"$ :

$= -(1)/(sqrt(1-x)*(1+x)^"3/2"+(1-x)^"3/2"*sqrt(1+x)$

Einfach durch Drehen $sqrt(1-x)$ und $sqrt(1+x)$ in $sqrt(1-x^2)$ :

$= -(1)/((1-x)^"1/2"(1+x)^"1/2"(1+x)+(1-x)(1-x)^"1/2"(1+x)^"1/2"$

Faktor aus dem $sqrt(1-x^2)$ und kündige was jetzt drin ist:

$= -(1)/(sqrt(1-x^2)*(1+x)+(1-x)*sqrt(1-x^2))$

$= -(1)/(sqrt(1-x^2)(1cancel(+x)+1cancel(-x)))$

$= color(blue)(-(1)/(2sqrt(1-x^2)))$

Wolfram Alpha gibt die Ableitung als (vorausgesetzt $x > 0$ )

$= -(1)/(2sqrt(1-x^2))$ ,

und im Allgemeinen gibt

$sqrt((1-x)/(1+x))/(2(1-x))$ .

Was ist die Ableitung von arctan sqrt [(1-x) / (1 + x)] arctan sqrt [(1-x) / (1 + x)] ?