Was ist die Ableitung von # 2 ^ x #?

Um die Ableitung von berechnen zu können #2^x#Sie müssen zwei Dinge verwenden

• die Tatsache, dass #d/dx(e^x) = e^x#

• das Kettenregel

Die Idee dabei ist, dass Sie die Tatsache nutzen können, dass Sie wissen, wovon die Ableitung stammt #e^x# ist zu versuchen, festzustellen, was die Ableitung von eine andere Konstante zur Macht erhoben von #x#in diesem Fall gleich #2#ist.

Dazu müssen Sie schreiben #2# als Exponentialzahl das hat die basis gleich #e#.

Nutze die Tatsache, dass

#color(blue)(e^(ln(a)) = a)#

zu schreiben

#e^(ln2) = 2#

Dies impliziert das #2^x# wird äquivalent sein zu

#2^x = (e^(ln2))^x = e^(x * ln2)#

Ihr Derivat sieht jetzt so aus

#d/dx(e^(x * ln2))#

Hier kommt die Kettenregel ins Spiel. Sie wissen, dass die Ableitung einer Funktion #y = f(u)# kann geschrieben werden als

#dy/dx = dy/(du) * (du)/dx#

In Ihrem Fall, #y = e^(x * ln2)#, und #u = x * ln2#, so dass dein Derivat wird

#d/dx(e^u) = underbrace(e^u/(du))_(color(blue)(=e^u)) * d/dx(u)#

#d/dx(e^u) = e^u * d/dx(u)#

Jetzt ersetzen #u# zu berechnen #d/dx(u)#

#d/dx(e^(x * ln2)) = e^(x * ln2) * d/dx(x * ln2)#

#d/dx(e^(x * ln2)) = e^(x * ln2) * ln2 d/dx(x)#

#d/dx(e^(x * ln2)) = e^(x * ln2) * ln2#

Deswegen,

#d/dx(2^x) = color(green)(2^x * ln 2)#