Was ist die Ableitung von $2^{x}$ $2 ^ x$ ?

Antworten:

$\frac{d}{d x} (2^{x}) = 2^{x} \cdot ln 2$ $d/dx (2^x) = 2^x * ln2$

Erläuterung:

Um die Ableitung von berechnen zu können $2^{x}$ $2^x$ Sie müssen zwei Dinge verwenden

die Tatsache, dass $\frac{d}{d x} (e^{x}) = e^{x}$ $d/dx(e^x) = e^x$
das Kettenregel

Die Idee dabei ist, dass Sie die Tatsache nutzen können, dass Sie wissen, wovon die Ableitung stammt $e^{x}$ $e^x$ ist zu versuchen, festzustellen, was die Ableitung von eine andere Konstante zur Macht erhoben von $x$ $x$ in diesem Fall gleich $2$ $2$ ist.

Dazu müssen Sie schreiben $2$ $2$ als Exponentialzahl das hat die basis gleich $e$ $e$ .

Nutze die Tatsache, dass

$e^{ln (a)} = a$ $color(blue)(e^(ln(a)) = a)$

zu schreiben

$e^{ln 2} = 2$ $e^(ln2) = 2$

Dies impliziert das $2^{x}$ $2^x$ wird äquivalent sein zu

$2^{x} = {(e^{ln 2})}^{x} = e^{x \cdot ln 2}$ $2^x = (e^(ln2))^x = e^(x * ln2)$

Ihr Derivat sieht jetzt so aus

$\frac{d}{d x} (e^{x \cdot ln 2})$ $d/dx(e^(x * ln2))$

Hier kommt die Kettenregel ins Spiel. Sie wissen, dass die Ableitung einer Funktion $y = f (u)$ $y = f(u)$ kann geschrieben werden als

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ $dy/dx = dy/(du) * (du)/dx$

In Ihrem Fall, $y = e^{x \cdot ln 2}$ $y = e^(x * ln2)$ , und $u = x \cdot ln 2$ $u = x * ln2$ , so dass dein Derivat wird

$d/dx(e^u) = underbrace(e^u/(du))_(color(blue)(=e^u)) * d/dx(u)$

$d/dx(e^u) = e^u * d/dx(u)$

Jetzt ersetzen $u$ zu berechnen $d/dx(u)$

$d/dx(e^(x * ln2)) = e^(x * ln2) * d/dx(x * ln2)$

$d/dx(e^(x * ln2)) = e^(x * ln2) * ln2 d/dx(x)$

$d/dx(e^(x * ln2)) = e^(x * ln2) * ln2$

Deswegen,

$d/dx(2^x) = color(green)(2^x * ln 2)$

Was ist die Ableitung von 2 ^ x 2x 2 ^ x ?

Antworten:

Erläuterung:

Was ist die Ableitung von $2^{x}$ $2 ^ x$ ?