Was ist das unbestimmte Integral von $ln (1 + x)$ ?

$(x+1)ln(1+x)-x+C$

Wir haben:

$I=intln(1+x)dx$

Wir werden verwenden Integration in Teilstücken, welches die Form annimmt:

$intudv=uv-intvdu$

So für $intln(1+x)dx$ , Lassen:

${(u=ln(1+x)" "=>" "du=1/(1+x)dx),(dv=dx" "=>" "v=x):}$

Einpassen in die Formel für die Integration nach Teilen:

$I=xln(1+x)-intx/(1+x)dx$

Wenn Sie das zweite Bit integrieren, können Sie eine lange Teilung durchführen, dies ist jedoch einfacher:

$I=xln(1+x)-int(1+x-1)/(1+x)dx$

$I=xln(1+x)-int((1+x)/(1+x)-1/(1+x))dx$

$I=xln(1+x)-int(1-1/(1+x))dx$

$I=xln(1+x)-intdx+int1/(1+x)dx$

Beide sind ziemlich einfache Integrale:

$I=xln(1+x)-x+ln(1+x)+C$

Factoring $ln(1+x)$ :

$I=(x+1)ln(1+x)-x+C$

Was ist das unbestimmte Integral von ln (1 + x) ln (1 + x) ?