Was ist das Integral von #int sin ^ 4 (x) dx #?

In diesem Integral geht es hauptsächlich um das clevere Umschreiben Ihrer Funktionen. Als Faustregel verwenden wir, wenn die Potenz gerade ist, die Doppelwinkelformel. Die Doppelwinkelformel lautet:
#sin^2(theta)=1/2(1-cos(2theta))#

Wenn wir unser Integral so aufteilen,
#int sin^2(x)*sin^2(x) dx#

Wir können die Doppelwinkelformel zweimal verwenden:
#int 1/2(1-cos(2x))*1/2(1-cos(2x)) dx#

Beide Teile sind gleich, also können wir es einfach als Quadrat ausdrücken:
#int (1/2(1-cos(2x)))^2 dx#

Ausweitung erhalten wir:
#int 1/4(1-2cos(2x)+cos^2(2x)) dx#

Wir können dann die andere Doppelwinkelformel verwenden
#cos^2(theta)=1/2(1+cos(2theta))#
den letzten Begriff wie folgt umschreiben:
#1/4int 1-2cos(2x)+1/2(1+cos(4x)) dx=#

#=1/4(int 1 dx-int 2cos(2x) dx+1/2int 1+cos(4x) dx)=#

#=1/4(x-int 2cos(2x) dx+1/2(x+int cos(4x) dx))#

Ich werde das linke Integral in der Klammer Integral 1 und das rechte Integral 2 nennen.

Integriertes 1
#int 2cos(2x) dx#

Wenn wir das Integral betrachten, haben wir die Ableitung des Inneren, #2# außerhalb der Funktion, und dies sollte sofort eine Glocke läuten, die Sie U-Substitution verwenden sollten.

Wenn wir lassen #u=2x#wird die Ableitung #2#, so teilen wir uns durch #2# zu integrieren in Bezug auf #u#:
#int (cancel(2)cos(u))/cancel(2) du#

#int cos(u) du=sin(u)=sin(2x)#

Integriertes 2
#int cos(4x) dx#

Dies ist hier nicht so offensichtlich, aber wir können hier auch die U-Substitution verwenden. Wir können lassen #u=4x#und die Ableitung wird #4#:
#1/4int cos(u) dx=1/4sin(u)=1/4sin(4x)#

Vervollständigung des ursprünglichen Integrals
Nachdem wir nun Integral 1 und Integral 2 kennen, können wir sie wieder in unseren ursprünglichen Ausdruck einfügen, um die endgültige Antwort zu erhalten:
#1/4(x-sin(2x)+1/2(x+1/4sin(4x)))+C=#

#=1/4(x-sin(2x)+1/2x+1/8sin(4x))+C=#

#=1/4x-1/4sin(2x)+1/8x+1/32sin(4x)+C=#

#=3/8x-1/4sin(2x)+1/32sin(4x)+C#