Was ist das Integral von int sin ^ 4 (x) dx ?
Antworten:
int sin^4(x) dx=3/8x-1/4sin(2x)+1/32sin(4x)+C
Erläuterung:
In diesem Integral geht es hauptsächlich um das clevere Umschreiben Ihrer Funktionen. Als Faustregel verwenden wir, wenn die Potenz gerade ist, die Doppelwinkelformel. Die Doppelwinkelformel lautet:
sin^2(theta)=1/2(1-cos(2theta))
Wenn wir unser Integral so aufteilen,
int sin^2(x)*sin^2(x) dx
Wir können die Doppelwinkelformel zweimal verwenden:
int 1/2(1-cos(2x))*1/2(1-cos(2x)) dx
Beide Teile sind gleich, also können wir es einfach als Quadrat ausdrücken:
int (1/2(1-cos(2x)))^2 dx
Ausweitung erhalten wir:
int 1/4(1-2cos(2x)+cos^2(2x)) dx
Wir können dann die andere Doppelwinkelformel verwenden
cos^2(theta)=1/2(1+cos(2theta))
den letzten Begriff wie folgt umschreiben:
1/4int 1-2cos(2x)+1/2(1+cos(4x)) dx=
=1/4(int 1 dx-int 2cos(2x) dx+1/2int 1+cos(4x) dx)=
=1/4(x-int 2cos(2x) dx+1/2(x+int cos(4x) dx))
Ich werde das linke Integral in der Klammer Integral 1 und das rechte Integral 2 nennen.
Integriertes 1
int 2cos(2x) dx
Wenn wir das Integral betrachten, haben wir die Ableitung des Inneren, 2 außerhalb der Funktion, und dies sollte sofort eine Glocke läuten, die Sie U-Substitution verwenden sollten.
Wenn wir lassen u=2xwird die Ableitung 2, so teilen wir uns durch 2 zu integrieren in Bezug auf u:
int (cancel(2)cos(u))/cancel(2) du
int cos(u) du=sin(u)=sin(2x)
Integriertes 2
int cos(4x) dx
Dies ist hier nicht so offensichtlich, aber wir können hier auch die U-Substitution verwenden. Wir können lassen u=4xund die Ableitung wird 4:
1/4int cos(u) dx=1/4sin(u)=1/4sin(4x)
Vervollständigung des ursprünglichen Integrals
Nachdem wir nun Integral 1 und Integral 2 kennen, können wir sie wieder in unseren ursprünglichen Ausdruck einfügen, um die endgültige Antwort zu erhalten:
1/4(x-sin(2x)+1/2(x+1/4sin(4x)))+C=
=1/4(x-sin(2x)+1/2x+1/8sin(4x))+C=
=1/4x-1/4sin(2x)+1/8x+1/32sin(4x)+C=
=3/8x-1/4sin(2x)+1/32sin(4x)+C