Was ist das Integral von # (cosx) ^ 2 #?

Antworten:

#1/4sin(2x)+1/2x+C#

Erläuterung:

Wir werden die Cosinus-Doppelwinkel-Identität verwenden, um neu zu schreiben #cos^2x#. (Beachten Sie, dass #cos^2x=(cosx)^2#, das sind verschiedene Schreibweisen.)

#cos(2x)=2cos^2x-1#

Dies kann gelöst werden für #cos^2x#:

#cos^2x=(cos(2x)+1)/2#

Somit

#intcos^2xdx=int(cos(2x)+1)/2dx#

Teilen Sie das Integral auf:

#=1/2intcos(2x)dx+1/2intdx#

Das zweite Integral ist das "perfekte Integral:" #intdx=x+C#.

#=1/2intcos(2x)dx+1/2x#

Die Integrationskonstante wird addiert, wenn das verbleibende Integral ausgewertet wird.

Verwenden Sie für das Cosinus-Integral die Substitution. Lassen #u=2x#, Was bedeutet, dass #du=2dx#.

Multiplizieren Sie den Integranden #2# und das Äußere des Integrals von #1/2#.

#=1/4int2cos(2x)dx+1/2x#

Ersatz in #u# und #du#:

#=1/4intcos(u)du+1/2x#

Beachten Sie, dass #intcos(u)du=sin(u)+C#.

#=1/4sin(u)+1/2x+C#

Da #u=2x#:

#=1/4sin(2x)+1/2x+C#

Beachten Sie, dass dies auf viele verschiedene Arten möglich ist #sin(2x)=2sinxcosx#.

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