Was ist das Integral von $(cosx) ^ 2$ ?

Antworten:

$1/4sin(2x)+1/2x+C$

Erläuterung:

Wir werden die Cosinus-Doppelwinkel-Identität verwenden, um neu zu schreiben $cos^2x$ . (Beachten Sie, dass $cos^2x=(cosx)^2$ , das sind verschiedene Schreibweisen.)

$cos(2x)=2cos^2x-1$

Dies kann gelöst werden für $cos^2x$ :

$cos^2x=(cos(2x)+1)/2$

Somit

$intcos^2xdx=int(cos(2x)+1)/2dx$

Teilen Sie das Integral auf:

$=1/2intcos(2x)dx+1/2intdx$

Das zweite Integral ist das "perfekte Integral:" $intdx=x+C$ .

$=1/2intcos(2x)dx+1/2x$

Die Integrationskonstante wird addiert, wenn das verbleibende Integral ausgewertet wird.

Verwenden Sie für das Cosinus-Integral die Substitution. Lassen $u=2x$ , Was bedeutet, dass $du=2dx$ .

Multiplizieren Sie den Integranden $2$ und das Äußere des Integrals von $1/2$ .

$=1/4int2cos(2x)dx+1/2x$

Ersatz in $u$ und $du$ :

$=1/4intcos(u)du+1/2x$

Beachten Sie, dass $intcos(u)du=sin(u)+C$ .

$=1/4sin(u)+1/2x+C$

Da $u=2x$ :

$=1/4sin(2x)+1/2x+C$

Beachten Sie, dass dies auf viele verschiedene Arten möglich ist $sin(2x)=2sinxcosx$ .

Was ist das Integral von (cosx) ^ 2 (cosx) ^ 2 ?

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Erläuterung:

Was ist das Integral von $(cosx) ^ 2$ ?