Was ist das Antiderivativum von #arcsin (x) #?

Antworten:

#intarcsin(x)dx = xarcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C#

Erläuterung:

Wir werden verschiedene Techniken anwenden, um das gegebene Integral zu bewerten.

Erstens verwenden wir Substitution :

Lassen #t = arcsin(x) => sin(t) = x#
Dann #dx = cos(t)dt#

Wir haben die Substitution gemacht

#int arcsin(x)dx = int tcos(t)dt#

#color(white)#

Als nächstes verwenden wir Integration in Teilstücken:

Lassen #u = t# und #dv = cos(t)dt#
Dann #du = dt# und #v = sin(t)#

Anwendung der Integration in Teilstücken Formel #intudv = uv - intvdu#

#inttcos(t)dt = tsin(t) - intsin(t)dt#

#=tsin(t) - (-cos(t)) + C#

#=tsin(t)+cos(t)+C#

Schließlich ersetzen wir #x# zurück in. Um zu sehen warum #cos(t) = sqrt(1-x^2)# versuchen Sie ein rechtwinkliges Dreieck zu zeichnen #sin(t) = x#.

#intarcsin(x)dx = xarcsin(x)+sqrt(1-x^2)+C#

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