Was ist das Antiderivativum von $arcsin (x)$ $arcsin (x)$ ?

Antworten:

$\int arcsin (x) d x = x arcsin (x) + \sqrt{1 - x^{2}} + C$ $intarcsin(x)dx = xarcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C$

Erläuterung:

Wir werden verschiedene Techniken anwenden, um das gegebene Integral zu bewerten.

Erstens verwenden wir Substitution :

Lassen $t = arcsin (x) \Rightarrow sin (t) = x$ $t = arcsin(x) => sin(t) = x$
Dann $d x = cos (t) d t$ $dx = cos(t)dt$

Wir haben die Substitution gemacht

$\int arcsin (x) d x = \int t cos (t) d t$ $int arcsin(x)dx = int tcos(t)dt$

$color(white)$

Als nächstes verwenden wir Integration in Teilstücken:

Lassen $u = t$ $u = t$ und $d v = cos (t) d t$ $dv = cos(t)dt$
Dann $d u = d t$ $du = dt$ und $v = sin (t)$ $v = sin(t)$

Anwendung der Integration in Teilstücken Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ $intudv = uv - intvdu$

$\int t cos (t) d t = t sin (t) - \int sin (t) d t$ $inttcos(t)dt = tsin(t) - intsin(t)dt$

$= t sin (t) - (- cos (t)) + C$ $=tsin(t) - (-cos(t)) + C$

$= t sin (t) + cos (t) + C$ $=tsin(t)+cos(t)+C$

Schließlich ersetzen wir $x$ $x$ zurück in. Um zu sehen warum $cos (t) = \sqrt{1 - x^{2}}$ $cos(t) = sqrt(1-x^2)$ versuchen Sie ein rechtwinkliges Dreieck zu zeichnen $sin (t) = x$ $sin(t) = x$ .

$\int arcsin (x) d x = x arcsin (x) + \sqrt{1 - x^{2}} + C$ $intarcsin(x)dx = xarcsin(x)+sqrt(1-x^2)+C$

Was ist das Antiderivativum von arcsin(x)arcsin (x) ?

Antworten:

Erläuterung:

Was ist das Antiderivativum von $arcsin (x)$ $arcsin (x)$ ?