Log (sinx) von 0 nach pi / 2 einbinden?

Wir nutzen das Grundstück #int_0^af(x)dx=int_0^af(a-x)dx#

daher können wir schreiben #I=int_0^(pi/2)logsinxdx=int_0^(pi/2)logsin(pi/2-x)dx#

or #I=int_0^(pi/2)logsinxdx=int_0^(pi/2)logcosxdx#

or #2I=int_0^(pi/2)(logsinx+logcosx)dx=int_0^(pi/2)log(sinxcosx)dx#

= #int_0^(pi/2)log((sin2x)/2)dx=int_0^(pi/2)(logsin2x-log2)dx#

= #int_0^(pi/2)logsin2xdx-int_0^(pi/2)log2dx#

= #int_0^(pi/2)logsin2xdx-(pi/2)log2# .............(EIN)

Lassen #I_1=int_0^(pi/2)logsin2xdx# und #t=2x#, dann #I_1=1/2int_0^pilogsintdt#

und mit der Eigenschaft #int_0^(2a)f(x)dx=2int_0^af(a-x)dx#Wenn #f(2a-x)=f(x)# - Beachten Sie das hier #logsint=logsin(pi-t)# und wir bekommen

#I_1=1/2int_0^pilogsintdt=int_0^(pi/2)logsintdt=I#

Daher (A) wird #2I=I-(pi/2)log2#

or #I=-(pi/2)log2#