Log (sinx) von 0 nach pi / 2 einbinden?

$I=int_0^(pi/2)logsinxdx=-(pi/2)log2$

Wir nutzen das Grundstück $int_0^af(x)dx=int_0^af(a-x)dx$

daher können wir schreiben $I=int_0^(pi/2)logsinxdx=int_0^(pi/2)logsin(pi/2-x)dx$

or $I=int_0^(pi/2)logsinxdx=int_0^(pi/2)logcosxdx$

or $2I=int_0^(pi/2)(logsinx+logcosx)dx=int_0^(pi/2)log(sinxcosx)dx$

= $int_0^(pi/2)log((sin2x)/2)dx=int_0^(pi/2)(logsin2x-log2)dx$

= $int_0^(pi/2)logsin2xdx-int_0^(pi/2)log2dx$

= $int_0^(pi/2)logsin2xdx-(pi/2)log2$ .............(EIN)

Lassen $I_1=int_0^(pi/2)logsin2xdx$ und $t=2x$ , dann $I_1=1/2int_0^pilogsintdt$

und mit der Eigenschaft $int_0^(2a)f(x)dx=2int_0^af(a-x)dx$ Wenn $f(2a-x)=f(x)$ - Beachten Sie das hier $logsint=logsin(pi-t)$ und wir bekommen

$I_1=1/2int_0^pilogsintdt=int_0^(pi/2)logsintdt=I$

Daher (A) wird $2I=I-(pi/2)log2$

or $I=-(pi/2)log2$