Integration von #int e ^ sin (x) dx #?

Antworten:

#sum_(n=0)^(oo)intsin^n(x)/(n!)dx#

Erläuterung:

Es gibt wirklich keine Möglichkeit, dies zu integrieren. Der Weg zur Integration ist zu denken, "das ist die Ableitung von was?" Da ist deine ursprüngliche Gleichung

#e^sin(x)#

Sie können dies nicht anwenden, da dies bedeuten würde:

#inte^sin(x)dx=-e^sin(x)/cos(x)#

Dies ist jedoch nicht der Fall, da dies zu einem Quotientenregel, was später bei der Integration zu einer viel komplexeren Funktion führt, von

#(e^sin(x)*sin(x))/cos^2(x)+e^sin(x)#

Wir brauchen also einen anderen Ansatz. Da wir dies nicht wirklich integrieren können, müssen wir es in etwas Integrierbareres verwandeln. Wir können umschreiben #e^sin(x)# als Potenzreihe, um diese integrierbar zu machen.

A Power-Serie ist ein unendliche Serie geschrieben in der Form:

#sum_(n=0)^(oo)a_nx^n#

Um eine dieser Funktionen zu erstellen, müssen Sie fortlaufend die Ableitung Ihrer ursprünglichen Funktion verwenden, was ziemlich komplex ist. Ich empfehle, Videos von der Khan Academy anzuschauen. Sie machen einen tollen Job, um es zu erklären.

Weißt du das einfach?

#e^x=sum_(n=0)^(oo)x^n/(n!)#

Da wir x durch sin (x) ersetzen können, können wir daraus schließen

#e^sinx=sum_(n=0)^(oo)sin^n(x)/(n!)#

Und wir können beide Seiten integrieren, um zu bekommen

#inte^sinxdx=sum_(n=0)^(oo)intsin^n(x)/(n!)dx#

Das ist vielleicht nicht das, wonach Sie gesucht haben, aber so weit ich weiß, wie ich Sie führen soll. Vielleicht möchten Sie noch einen Schritt weitergehen und die Power-Serie für sin (x) verwenden. Hier ist es, falls es helfen könnte:

#sin(x)=sum_(n=0)^(oo)((-1)^nx^(2n+1))/((1+2n)!)#

Viel Glück!

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