$int_(0)^(15)x^2sqrt(a^2-x^2)dx$ ?

$int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = (a^4pi)/16$

Bewerten:

$int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx$

Ersatz:

$x= asint$

$dx = a costdt$

mit $t in [0,pi/2]$

damit:

$int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = int_0^(pi/2) a^2 sin^2t sqrt(a^2-a^2 sin^2t)acostdt$

$int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = a^4 int_0^(pi/2) sin^2t sqrt(1- sin^2t)costdt$

Für $t in [0,pi/2]$ Der Cosinus ist positiv, also:

$sqrt(1- sin^2t) = cost$

und dann:

$int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = a^4 int_0^(pi/2) sin^2t cos^2tdt$

Verwenden Sie jetzt die trigonometrischen Identitäten:

$sin 2theta = 2 sin theta cos theta$

$2sin^2 theta = 1- cos theta$

so:

$sin^2t cos^2tdt = 1/4 sin^2 2t = 1/8(1-cos4t)$

und:

$int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = a^4/8 int_0^(pi/2) (1-cos4t)dt$

Verwenden Sie jetzt die Linearität des Integrals:

$int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = a^4/8 (int_0^(pi/2) dt - int_0^(pi/2) cos4tdt)$

$int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = a^4/8 [t - (sin 4t)/4]_0^(pi/2)$

$int_0^a x^2sqrt(a^2-x^2)dx = (a^4pi)/16$

int_(0)^(15)x^2sqrt(a^2-x^2)dxint_(0)^(15)x^2sqrt(a^2-x^2)dx?