Gegeben sei f (x) = (e ^ -x) • sinx auf [-pi, pi]. Identifizieren Sie die x- und y-Abschnitte, lokalen Extrema und Wendepunkte. Verwenden Sie diese Informationen, um das Diagramm zu skizzieren. Können Sie helfen, die lokalen Extrema zu finden?

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

$f(x)=e^(-x)sinx$ , $(-pi <= x <= pi)$

Legen wir fest $y=0$ zu finden, die $x$ -Intercept (s):

$e^(-x)sinx=0$

$e^(-x)=0, :. 1/e^x=0, :. e^x=oo, :. x=oo$ Dies liegt außerhalb unseres Intervalls.

$sinx=0, :. x=-pi, 0, pi$

Legen wir fest $x=0$ zu finden, die $y$ -Intercept (s):

$y=e^(-0)sin0=0$

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen:

Bildquelle hier eingeben

Wie zu sehen ist, die $x$ und $y$ Abschnitte werden überprüft.

Um die lokalen Extrema zu finden, müssen wir die erste Ableitung der Funktion nehmen und gleich setzen $0$ . Da unsere Funktion das Produkt zweier anderer Funktionen ist, verwenden wir die Produktregel:

$dy/dx=e^(-x)cosx+(-e^(-x)sinx)=e^(-x)cosx-e^(-x)sinx$

$e^(-x)cosx-e^(-x)sinx=0$

$e^(-x)(cosx-sinx)=0$

$e^(-x)=0, :. 1/e^x=0, :. e^x=oo, :. x=oo$ Dies liegt außerhalb unseres Intervalls.

$cosx-sinx=0$

$cosx=sinx$

Wir teilen beide Seiten durch $cosx$ :

$tanx=1, :. x=arctan(1), :. x=pi/4, (-3pi)/4$

Ohne das Diagramm zu betrachten, müssten wir einen Test der ersten Ableitung durchführen, indem wir Werte von versuchen $x$ links und rechts von $pi/4$ und $(-3pi)/4$ um festzustellen, wo die Funktion abnimmt und zunimmt. Dies würde uns sagen, welche der Extrema-Lösungen ein lokales Minimum und welche ein lokales Maximum ist.

Aber die Grafik zeigt uns das deutlich $x=(-3pi)/4$ ist das Minimum und $x=pi/4$ ist das Maximum. Wir stecken jetzt jeden von ihnen in die Funktion, um ihre zu finden $y$ -Koordinaten:

$x=-(3pi)/4, :. y=e^(-(-(3pi)/4))sin(-(3pi)/4)=e^((3pi)/4)sin(-(3pi)/4)=10.55(-sqrt2/2)=-7.46$

$x=pi/4, :. y=e^(-pi/4)sin(pi/4)=0.46(sqrt2/2)=0.33$

Lokales Minimum $(-2.36, -7.46)$

Lokales Maximum $(0.79, 0.33)$

Um die Wendepunkte zu finden, müssen wir die zweite Ableitung der Funktion nehmen und gleich setzen $0$ :

$(d^2y)/dx^2=-e^(-x)sinx+(-e^(-x)cosx)-[(e^(-x)cosx+(-e^(-x)sinx)]$

$(d^2y)/dx^2=-e^(-x)sinx-e^(-x)cosx-e^(-x)cosx+e^(-x)sinx$

$(d^2y)/dx^2=cancelcolor(red)(-e^(-x)sinx)-e^(-x)cosx-e^(-x)cosxcancelcolor(red)(+e^(-x)sinx)$

$(d^2y)/dx^2=-2e^(-x)cosx$

$-2e^(-x)cosx=0$

$e^(-x)=0, :. 1/e^x=0, :. e^x=oo, :. x=oo$ Dies liegt außerhalb unseres Intervalls.

$cosx=0, :. x=pi/2, -pi/2$

Dies sind die $x$ -Koordinaten der beiden Wendepunkte. Wir werden sie in die Funktion einstecken, um ihre zu bekommen $y$ -Koordinaten:

$x=-pi/2, :. y=e^(-(-pi/2))sin(-pi/2)=e^(pi/2)sin(-pi/2)=4.81(-1)=-4.81$

$x=pi/2, :. y=e^(-pi/2)sin(pi/2)=0.21(1)=0.21$

Wendepunkt-1, $(-1.57,-4.81)$

Wendepunkt-2, $(1.57,0.21)$

Die zwei Extrema und zwei Wendepunkte sind in unserer Grafik verifiziert.