Gegeben sei f (x) = (e ^ -x) • sinx auf [-pi, pi]. Identifizieren Sie die x- und y-Abschnitte, lokalen Extrema und Wendepunkte. Verwenden Sie diese Informationen, um das Diagramm zu skizzieren. Können Sie helfen, die lokalen Extrema zu finden?

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

.

#f(x)=e^(-x)sinx#, #(-pi <= x <= pi)#

Legen wir fest #y=0# zu finden, die #x#-Intercept (s):

#e^(-x)sinx=0#

#e^(-x)=0, :. 1/e^x=0, :. e^x=oo, :. x=oo#Dies liegt außerhalb unseres Intervalls.

#sinx=0, :. x=-pi, 0, pi#

Legen wir fest #x=0# zu finden, die #y#-Intercept (s):

#y=e^(-0)sin0=0#

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen:

Bildquelle hier eingeben

Wie zu sehen ist, die #x# und #y# Abschnitte werden überprüft.

Um die lokalen Extrema zu finden, müssen wir die erste Ableitung der Funktion nehmen und gleich setzen #0#. Da unsere Funktion das Produkt zweier anderer Funktionen ist, verwenden wir die Produktregel:

#dy/dx=e^(-x)cosx+(-e^(-x)sinx)=e^(-x)cosx-e^(-x)sinx#

#e^(-x)cosx-e^(-x)sinx=0#

#e^(-x)(cosx-sinx)=0#

#e^(-x)=0, :. 1/e^x=0, :. e^x=oo, :. x=oo#Dies liegt außerhalb unseres Intervalls.

#cosx-sinx=0#

#cosx=sinx#

Wir teilen beide Seiten durch #cosx#:

#tanx=1, :. x=arctan(1), :. x=pi/4, (-3pi)/4#

Ohne das Diagramm zu betrachten, müssten wir einen Test der ersten Ableitung durchführen, indem wir Werte von versuchen #x# links und rechts von #pi/4# und #(-3pi)/4# um festzustellen, wo die Funktion abnimmt und zunimmt. Dies würde uns sagen, welche der Extrema-Lösungen ein lokales Minimum und welche ein lokales Maximum ist.

Aber die Grafik zeigt uns das deutlich #x=(-3pi)/4# ist das Minimum und #x=pi/4# ist das Maximum. Wir stecken jetzt jeden von ihnen in die Funktion, um ihre zu finden #y#-Koordinaten:

#x=-(3pi)/4, :. y=e^(-(-(3pi)/4))sin(-(3pi)/4)=e^((3pi)/4)sin(-(3pi)/4)=10.55(-sqrt2/2)=-7.46#

#x=pi/4, :. y=e^(-pi/4)sin(pi/4)=0.46(sqrt2/2)=0.33#

Lokales Minimum #(-2.36, -7.46)#

Lokales Maximum #(0.79, 0.33)#

Um die Wendepunkte zu finden, müssen wir die zweite Ableitung der Funktion nehmen und gleich setzen #0#:

#(d^2y)/dx^2=-e^(-x)sinx+(-e^(-x)cosx)-[(e^(-x)cosx+(-e^(-x)sinx)]#

#(d^2y)/dx^2=-e^(-x)sinx-e^(-x)cosx-e^(-x)cosx+e^(-x)sinx#

#(d^2y)/dx^2=cancelcolor(red)(-e^(-x)sinx)-e^(-x)cosx-e^(-x)cosxcancelcolor(red)(+e^(-x)sinx)#

#(d^2y)/dx^2=-2e^(-x)cosx#

#-2e^(-x)cosx=0#

#e^(-x)=0, :. 1/e^x=0, :. e^x=oo, :. x=oo#Dies liegt außerhalb unseres Intervalls.

#cosx=0, :. x=pi/2, -pi/2#

Dies sind die #x#-Koordinaten der beiden Wendepunkte. Wir werden sie in die Funktion einstecken, um ihre zu bekommen #y#-Koordinaten:

#x=-pi/2, :. y=e^(-(-pi/2))sin(-pi/2)=e^(pi/2)sin(-pi/2)=4.81(-1)=-4.81#

#x=pi/2, :. y=e^(-pi/2)sin(pi/2)=0.21(1)=0.21#

Wendepunkt-1, #(-1.57,-4.81)#

Wendepunkt-2, #(1.57,0.21)#

Die zwei Extrema und zwei Wendepunkte sind in unserer Grafik verifiziert.

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