Für welche Werte von r erfüllt die Funktion y = `e ^ (rx)` die Differentialgleichung 5y '' + 14y '- 3y = 0?

(b) Wir ersetzen y durch `ae^(r_1 x) + be^(r_2 x)`. Zuerst müssen wir die Werte für y 'und y' 'herausfinden.

y = `ae^(x/5) + be^(-3x)`
y '= `1/5 ae^(x/5) - 3 be^(-3x)`
y '' = `1/25 ae^(x/5) - 9 be^(-3x)`

Jetzt können wir die Werte in unsere Differentialgleichung 5y '' + 14y '- 3y = 0 einfügen.

`5[1/25 ae^(x/5) - 9 be^(-3x)] + 14[1/5 ae^(x/5) - 3 be^(-3x)] − 3[ae^(x/5) + be^(-3x)] = 0`

`a[1/5 e^(x/5) + 14/5 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[45 e^(-3x) - 42 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0`

`a[3 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[45 e^(-3x) - 42 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0`

`a[3 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[3 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0`

a [0] + b [0] = 0

0 = 0

Da die Lösungen beide 0 sind, bedeutet dies, dass jedes Mitglied der Familie von Funktionen in y = `ae^(r_1 x) + be^(r_2 x)` ist eine Lösung für 5y '' + 14y '- 3y = 0.