Finden Sie die Abmessung des Rechtecks ​​der größten Fläche, die in einen Kreis mit dem Radius r? Eingeschrieben werden kann.

Zeichnen wir ein Diagramm:

Wie Sie aus dem Diagramm sehen können, von Pythagoras, `x^2 + y^2 = r^2`, oder `y^2 = r^2 - x^2 -> y = sqrt(r^2 - x^2)`

Das Gebiet wird sein `A = 2x(2y) = 2x(2sqrt(r^2 - x^2)) = 4xsqrt(r^2 - x^2)`

Nehmen wir die Ableitung hiervon in Bezug auf `x` erhalten wir

`A' = 4sqrt(r^2- x^2) + (4x(-2x))/(2sqrt(r^2 - x^2))`

`A' = 4sqrt(r^2 - x^2) - (8x^2)/(2sqrt(r^2 -x^2))`

`A' = 4sqrt(r^2 - x^2) - (4x^2)/sqrt(r^2 - x^2)`

`A' = (4(r^2 - x^2) - 4x^2)/sqrt(r^2 - x^2)`

`A' = (4r^2 - 8x^2)/sqrt(r^2 - x^2)`

Dies hat kritische Zahlen, wenn

`0 = 4r^2 - 8x^2`

`8x^2 = 4r^2`

`x^2 = 1/2r^2`

`x = 1/sqrt(2)r`

Der Wert der `y` wird gegeben von `y = sqrt(r^2 - (1/sqrt(2)r)^2) =sqrt(1/2r^2) = 1/sqrt(2)r`

Somit ist die Form ein Quadrat von Dimensionen `1/sqrt(2)r` by `1/sqrt(2)r`mit einer maximalen Fläche von `1/2r^2`

Hoffentlich hilft das!