Finden Sie die Abmessung des Rechtecks ​​der größten Fläche, die in einen Kreis mit dem Radius r? Eingeschrieben werden kann.

Antworten:

Das Rechteck ist ein Quadrat mit Seitenlänge #1/sqrt(2)r#

Erläuterung:

Zeichnen wir ein Diagramm:

https://sites.google.com/site/mymathclassroom/algebra/minimum-and-maximum/the-largest-rectangle-that-can-be-inscribed-in-a-circle-an-algebraic-solution

Wie Sie aus dem Diagramm sehen können, von Pythagoras, #x^2 + y^2 = r^2#, oder #y^2 = r^2 - x^2 -> y = sqrt(r^2 - x^2)#

Das Gebiet wird sein #A = 2x(2y) = 2x(2sqrt(r^2 - x^2)) = 4xsqrt(r^2 - x^2)#

Nehmen wir die Ableitung hiervon in Bezug auf #x# erhalten wir

#A' = 4sqrt(r^2- x^2) + (4x(-2x))/(2sqrt(r^2 - x^2))#

#A' = 4sqrt(r^2 - x^2) - (8x^2)/(2sqrt(r^2 -x^2))#

#A' = 4sqrt(r^2 - x^2) - (4x^2)/sqrt(r^2 - x^2)#

#A' = (4(r^2 - x^2) - 4x^2)/sqrt(r^2 - x^2)#

#A' = (4r^2 - 8x^2)/sqrt(r^2 - x^2)#

Dies hat kritische Zahlen, wenn

#0 = 4r^2 - 8x^2#

#8x^2 = 4r^2#

#x^2 = 1/2r^2#

#x = 1/sqrt(2)r#

Der Wert der #y# wird gegeben von #y = sqrt(r^2 - (1/sqrt(2)r)^2) =sqrt(1/2r^2) = 1/sqrt(2)r#

Somit ist die Form ein Quadrat von Dimensionen #1/sqrt(2)r# by #1/sqrt(2)r#mit einer maximalen Fläche von #1/2r^2#

Hoffentlich hilft das!

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