Eine Leiter 10 ft lang ruht an einer senkrechten Wand. Wenn der Boden der Leiter mit einer Geschwindigkeit von 0.8 ft / s von der Wand abrutscht, wie schnell ändert sich der Winkel zwischen Leiter und Boden, wenn der Boden der Leiter 8 ft von der Wand entfernt ist?

Antworten:

#- 2/15# Bogenmaß pro Sekunde

Erläuterung:

Den Abstand in Fuß zwischen der Wand und der Basis der Leiter durch angeben #x# und der Winkel im Bogenmaß zwischen der Leiter und dem Boden durch #y#, es ist notiert

#cos(y) = x / 10#

was impliziert

#y = arccos(x/10)#

Indem die Zeit in Sekunden mit t bezeichnet wird, ist dies weiter zu bemerken

#dy / dt = dy/dx dx/dt# (Kettenregel)

Notieren (der Einfachheit halber wird die Standardtabelle der Derivate verwendet)

#dy/dx = - 1 / (sqrt(1 - (0.1 x)^2)) (0.1)# (auch nach Kettenregel)

das ist

#dy/dx = - 0.1/(sqrt(1 - 0.01 x^2))#

Aus der Fragestellung ergibt sich, dass in diesem speziellen System

#dx/dt = 0.8# Fuß pro Sekunde

Also (bezeichnet die Ableitung als Funktion von #x#)

#dy/dt (x) = dy/dx dx/dt = - 0.08/(sqrt(1 - 0.01 x^2))#

So

#dy/dt (8) = dy/dx dx/dt = - 0.08/(sqrt(1 - 0.01 (64)))#

#= - 0.08/(sqrt(1 - 0.64)) = - 0.08/(sqrt(0.36))#

#- 0.08/0.6 = - 8/60 = - 2/15# Bogenmaß pro Sekunde

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