Eine Box mit quadratischem Boden und offenem Deckel muss ein Volumen von 32,000cm ^ 3 haben. Wie finden Sie die Abmessungen der Schachtel, die den Materialverbrauch minimieren?

Das Volumen einer Box mit quadratischer Grundfläche #x# by #x# cm und höhe #h# cm ist #V=x^2h#

Die Menge des verwendeten Materials ist direkt proportional zur Oberfläche, daher wird die Materialmenge durch Minimieren der Oberfläche minimiert.

Die Oberfläche der beschriebenen Box beträgt #A=x^2 +4xh#

Wir brauchen #A# als Funktion von #x# allein, also werden wir die Tatsache nutzen, dass
#V=x^2h = 32,000# cm ^ 3

was uns gibt #h = (32,000)/x^2#So wird die Fläche:

#A=x^2 +4x((32,000)/x^2) = x^2 +(128,000)/x#

Wir wollen minimieren #A#, damit

#A' = 2x-(128,000)/x^2 = 0# wann #(2x^3-128,000)/x^2 = 0#

Welches kommt vor, wenn #x^3 - 64,000 = 0# or #x=40#

Die einzige kritische Zahl ist #x=40# cm.

Der Test der zweiten Ableitung bestätigt dies #A# hat ein Minimum an dieser kritischen Zahl:
#A'' = 2+(256,000)/x^3# das ist positiv bei #x = 40#.

Die Box sollte eine Basis von 40 cm x 40 cm und eine Höhe von 20 cm haben.

(benutzen #h = (32,000)/x^2# und #x=40#)