Ein Rechteck ist mit seiner Basis auf der x-Achse und seinen oberen Ecken auf der Parabel y = 12 - x ^ 2 eingeschrieben. Was sind die Abmessungen eines solchen Rechtecks mit der größtmöglichen Fläche?
Antworten:
Die größte Fläche entsteht, wenn das Rechteck eine Breite von 4 und eine Höhe von 8 hat, was zu einer maximalen Fläche von 32 führt
Erläuterung:
Lassen Sie uns die folgenden Variablen einrichten:
# {(P(x,y), "coordinate of the right hand corner"), (A, "Area of Rectangle") :} #
#P# liegt auf der Parabel und #y=12-x^2#, damit #P=P(x,12-x^2)#
Aufgrund der Symmetrie Die Breite des Rechtecks ist die Hälfte des Abstands zwischen P und der y-Achse, d. H
Width = #2x# and Height=#y#
Daher ist die Fläche des Rechtecks:
# A = Wdith xx Height #
# :. A = 2xy #
# :. A = 2x(12-x^2) #
# :. A = 24x-2x^3) # ..... [1]
Wir werden gebeten, die Fläche zu maximieren #x# ändert sich so hoffentlich können wir einen kritischen Punkt von identifizieren #A# verbunden mit einem Maximum, also müssen wir finden #(dA)/dx#
Differenzieren von [1] in Bezug auf #x#
# :. (dA)/dx = 24-6x^2 # ..... [2]
An einem kritischen Punkt # (dA)/dx = 0 #
# :. 24-6x^2 = 0#
# :. 6x^2 = 24#
# :. x^2 = 4#
# :. x = +-2#
Offensichtlich #x# muss positiv sein (ansonsten haben wir ein imaginäres Rechteck mit negativem Bereich für eine Box, die in sich zusammengebrochen ist)
# :. x = 2#
Wir müssen prüfen, ob dies ein Maximum oder ein Minimum ist, also differenzieren Sie [2] wrt #x# bekommen;
# :. (d^2A)/dx^2 = -12x #
# :. (d^2A)/dx^2 = -12x < 0 " when " x=2#, confirming a max
Wann #x=2# haben wir:
Width = #2*2 = 4#
Height = #12-4=8#
Area = #32#