Ein Rechteck ist mit seiner Basis auf der x-Achse und seinen oberen Ecken auf der Parabel y = 12 - x ^ 2 eingeschrieben. Was sind die Abmessungen eines solchen Rechtecks mit der größtmöglichen Fläche?
Antworten:
Die größte Fläche entsteht, wenn das Rechteck eine Breite von 4 und eine Höhe von 8 hat, was zu einer maximalen Fläche von 32 führt
Erläuterung:
Lassen Sie uns die folgenden Variablen einrichten:
{(P(x,y), "coordinate of the right hand corner"), (A, "Area of Rectangle") :}
P liegt auf der Parabel und y=12-x^2, damit P=P(x,12-x^2)
Aufgrund der Symmetrie Die Breite des Rechtecks ist die Hälfte des Abstands zwischen P und der y-Achse, d. H
Width = 2x and Height=y
Daher ist die Fläche des Rechtecks:
A = Wdith xx Height
:. A = 2xy
:. A = 2x(12-x^2)
:. A = 24x-2x^3) ..... [1]
Wir werden gebeten, die Fläche zu maximieren x ändert sich so hoffentlich können wir einen kritischen Punkt von identifizieren A verbunden mit einem Maximum, also müssen wir finden (dA)/dx
Differenzieren von [1] in Bezug auf x
:. (dA)/dx = 24-6x^2 ..... [2]
An einem kritischen Punkt (dA)/dx = 0
:. 24-6x^2 = 0
:. 6x^2 = 24
:. x^2 = 4
:. x = +-2
Offensichtlich x muss positiv sein (ansonsten haben wir ein imaginäres Rechteck mit negativem Bereich für eine Box, die in sich zusammengebrochen ist)
:. x = 2
Wir müssen prüfen, ob dies ein Maximum oder ein Minimum ist, also differenzieren Sie [2] wrt x bekommen;
:. (d^2A)/dx^2 = -12x
:. (d^2A)/dx^2 = -12x < 0 " when " x=2, confirming a max
Wann x=2 haben wir:
Width = 2*2 = 4
Height = 12-4=8
Area = 32