Das Volumen einer Kugel ändert sich mit einer konstanten Rate von pi / 3 cm ^ 3s ^ -1 π3cm3s1. Wie stark verändert sich die Oberfläche, wenn das Volumen (9pi) / 2 9π2 ist?

Antworten:

(dA)/dt =(4pi)/9 cm^2s^-1dAdt=4π9cm2s1

Erläuterung:

Lassen Sie uns die folgenden Variablen einrichten:

Bildquelle hier eingeben

{(r, "Radius of sphere at time t","(cm)"), (A, "Surface area of sphere at time t", "(cm"^2")"), (V, "Volume of sphere at time t", "(cm"^3")"), (t, "time", "(sec)") :}

Unser Ziel ist es zu finden (dA)/dt wann V=(9pi)/2 und (dV)/dt=pi/3.

Die Standardformel für Fläche & Volumen einer Kugel lautet:

V=4/3pir^3 .... [1]
A=4pir^2 .... [2]

Wann V=(9pi)/2 => 4/3pir^3 =(9pi)/2

:. r^3 =9/2*3/4
:. r =3/2

Differenzieren von [1] und [2] bezüglich r wir bekommen;

(dV)/(dr)=4pir^2 and (dA)/(dr) = 8pir

Und aus dem Kettenregel wir bekommen:

(dA)/dt =(dA)/(dr) * (dr)/(dV)* (dV)/(dt)
=8pir * 1/(4pir^2) * (dV)/(dt)
=2/r * (dV)/(dt)

Also, wenn V=(9pi)/2, (dV)/dt=pi/3 und r =3/2, Dann gilt:

(dA)/dt =2/(3/2) * pi/3
=(4pi)/9