Betrachten Sie die durch die Gleichung y + cosy = x + 1 y+cosy=x+1 für 0≤y≤2pi 0≤y≤2π definierte Kurve. Wie ermitteln Sie dy / dx in Bezug auf y und schreiben eine Gleichung für jede vertikale Tangente an die Kurve?
Antworten:
y' =1/(1- sin y )
mit y in [0, 2 pi] angegeben ist die einzige vertikale Tangente x = pi/2 -1
Erläuterung:
beginnen mit y+cosy=x+1würdest du unterscheiden
So d/dx(y+cosy=x+1)
implies y' - sin y y' =1
implies y' =1/(1- sin y ) in Bezug auf y !!
vertikale Tangenten haben eine Neigung oo Das bedeutet, in der Fraktion nach einem Demoninator von 0 Ausschau zu halten
deshalb interessieren wir uns für sin y = 1
implies y = pi/2, (5 pi) /2,..., (2k + 1/2)pi qquad qquad k in mathbf{Z}
glücklicherweise cosy = cos (2k pi + pi/2) = cos 2k pi color(red)(cos (pi/2)) - color(red)( sin 2k pi ) sin pi/2
und die Ausdrücke in Rot sind Null
y+cosy=x+1 wird
(2k + 1/2)pi = x + 1
x = (2k + 1/2)pi -1
das ist aber verallgemeinert y in [0, 2 pi] angegeben. Wir beschränken uns also auf k = 0
das heißt y = pi/2 wenn die vertikale Tangente ist
x = pi/2 -1