Wie finden Sie das Taylor-Polynom Tn (x) für die Funktion f bei der Zahl a $f (x) = \sqrt{3 + x^{2}}$ $f (x) = sqrt (3 + x ^ 2)$ , a = 1, n = 2?

Antworten:

$T_{2} (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x + 27}{16}$ $T_2(x) = (3x^2+2x+27)/16$

Erläuterung:

Das Taylor-Polynom der Ordnung $n$ $n$ ist der $(n + 1)$ $(n+1)$ -te Teilsumme der Taylor-Reihe:

$f (x) = \infty \sum n = 0 \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n}$ $f(x) = sum_(n=0)^oo (f^((n))(a))/(n!)(x-a)^n$

in $n = 2$ $n=2$ haben wir:

$\frac{d}{d x} \sqrt{3 + x^{2}} = \frac{x}{\sqrt{3 + x^{2}}}$ $d/dx sqrt(3+x^2) = x/sqrt(3+x^2)$

$\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} \sqrt{3 + x^{2}} = \frac{\sqrt{3 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{3 + x^{2}}}}{3 + x^{2}} = \frac{3}{{(3 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ $d^2/dx^2 sqrt(3+x^2) = (sqrt(3+x^2) - x^2/sqrt(3+x^2))/(3+x^2) = 3/(3+x^2)^(3/2)$

So für $a = 1$ $a=1$ :

$f^{(0)} (1) = \sqrt{3 + 1^{2}} = 2$ $f^((0))(1) = sqrt(3+1^2) = 2$

$f^{(1)} (1) = \frac{1}{\sqrt{3 + 1^{2}}} = \frac{1}{2}$ $f^((1))(1) = 1/sqrt(3+1^2) = 1/2$

$f^{(2)} (1) = \frac{3}{{(3 + 1^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{8}$ $f^((2))(1) = 3/(3+1^2)^(3/2) = 3/8$

Dann:

$T_{2} (x) = 2 + \frac{1}{2} (x - 1) + \frac{3}{16} {(x - 1)}^{2}$ $T_2(x) = 2+1/2(x-1)+3/16(x-1)^2$

$T_{2} (x) = \frac{32 + 8 (x - 1) + 3 {(x - 1)}^{2}}{16}$ $T_2(x) = (32+8(x-1)+3(x-1)^2)/16$

$T_{2} (x) = \frac{32 + 8 x - 8 + 3 x^{2} - 6 x + 3}{16}$ $T_2(x) = (32+8x-8+3x^2-6x+3)/16$

$T_{2} (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x + 27}{16}$ $T_2(x) = (3x^2+2x+27)/16$

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Wie finden Sie das Taylor-Polynom Tn (x) für die Funktion f bei der Zahl a f(x)=√3+x2f (x) = sqrt (3 + x ^ 2) , a = 1, n = 2?

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Erläuterung:

Wie finden Sie das Taylor-Polynom Tn (x) für die Funktion f bei der Zahl a $f (x) = \sqrt{3 + x^{2}}$ $f (x) = sqrt (3 + x ^ 2)$ , a = 1, n = 2?