Wie schnell steigt der Wasserstand bei einer Wassertiefe von 3 cm (an der tiefsten Stelle), wenn Wasser mit einer Geschwindigkeit von 10 cm3 / s in einen konischen Behälter gegossen wird? Der Kegel zeigt direkt nach unten und hat eine Höhe von 25 cm und einen Basisradius von 15 cm.

Gegeben ist die Änderungsrate des Volumens in Bezug auf die Zeit
#(d V) / dt = 10 ##(cub. cm)/(sec)#

Wir suchen die Änderungsrate der Höhe in Bezug auf die Zeit:
#(d h) / dt#

#(d V)/(dt) * ( ? ) = (d h)/(dt)#

Der offensichtliche Ersatz für #( ? )# scheint zu sein
#(d h)/(dV)#die Änderungsrate der Höhe in Bezug auf das Volumen.

Das Volumen eines Kegels ergibt sich aus der Formel:
#V = (Pi r^2 h)/3#

Das Verhältnis des Radius zur Höhe für den gegebenen Kegel ist
#r/h = 15/25 = 3/5# (siehe Zeichnung)

or
#r = 3/5 h#

Also, für den gegebenen Kegel:
#V = (Pi * (3/5 h)^2* h)/3 = (3 Pi h^3)/25 (cub. cm)#

Deshalb
#(d V)/(dh) = (9 Pi)/(25) h^2 (sq. cm)#

#rarr (d h)/(dV) = (25)/( 9 Pi h^2 (sq. cm))#

#(d h)/(dt)#
#=(d V)/(dt) * (d h)/(dV) = (10 cub. cm)/(sec) * (25)/(9 Pi h^2 (sq. cm))#
#= (250 cm)/(9 Pi h^2 sec)#

bei h = 3
#(d h)/(dt)# wird
#(250)/(9 Pi xx (9)) ((cm)/(sec))#

# = (250/(81 * Pi)) ((cm)/(sec))#